Bu soruyu adım adım çözerek doğru cevaba ulaşalım:
- Adım 1: Pay kısmını (üst tarafı) sadeleştirelim.
- Adım 2: Payda kısmını (alt tarafı) sadeleştirelim.
- Adım 3: Sadeleştirilmiş pay ve paydayı birbirine bölelim.
- Adım 4: Sonucun sayısal değerini hesaplayalım.
Pay kısmında dört adet $4^3$ ifadesi çarpım durumunda ve karekök içindedir:
$$ \sqrt{4^3 \cdot 4^3 \cdot 4^3 \cdot 4^3} $$
Üslü sayılarda çarpma işlemi kuralına göre tabanlar aynıysa üsler toplanır. Ayrıca, $n$ tane aynı sayının çarpımı o sayının $n$. kuvvetidir:
$$ \sqrt{(4^3)^4} = \sqrt{4^{3 \cdot 4}} = \sqrt{4^{12}} $$
Karekök alma işlemi, üssü 2'ye bölmek anlamına gelir:
$$ 4^{12/2} = 4^6 $$
Payda kısmında dört adet $4^3$ ifadesi toplama durumunda ve karekök içindedir:
$$ \sqrt{4^3 + 4^3 + 4^3 + 4^3} $$
Dört adet aynı sayının toplamı, o sayının 4 ile çarpımına eşittir:
$$ \sqrt{4 \cdot 4^3} $$
Üslü sayılarda çarpma işlemi kuralına göre tabanlar aynıysa üsler toplanır ($4 = 4^1$):
$$ \sqrt{4^1 \cdot 4^3} = \sqrt{4^{1+3}} = \sqrt{4^4} $$
Karekök alma işlemi, üssü 2'ye bölmek anlamına gelir:
$$ 4^{4/2} = 4^2 $$
Şimdi ifadeyi sadeleştirilmiş halleriyle yazalım:
$$ \frac{4^6}{4^2} $$
Üslü sayılarda bölme işlemi kuralına göre tabanlar aynıysa üsler çıkarılır:
$$ 4^{6-2} = 4^4 $$
$$ 4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256 $$
İşlemin sonucu 256'dır.
Cevap B seçeneğidir.