Sorunun Çözümü
- Tablodaki $ \star $ ve $ \triangle $ ifadeleri 3'ün kuvvetleri olduğundan, $ \star = 3^x $ ve $ \triangle = 3^y $ şeklinde yazılabilir. Burada $x$ ve $y$ birer tam sayıdır.
- Tablodaki tüm üslü ifadelerin kuvvetleri birbirinden farklı olmalıdır. Mevcut kuvvetler: $-2, 1, x, y, 3, -1$. Bu nedenle $x, y \notin \{-2, 1, 3, -1\}$ olmalıdır.
- 1. Satır: Üslü ifadelerin çarpımı bir tam kare doğal sayıya eşittir. $3^{-2} \cdot 3^1 \cdot 3^x = 3^{-2+1+x} = 3^{x-1}$. Bu ifadenin tam kare doğal sayı olması için $x-1$ çift ve $x-1 \ge 0$ olmalıdır. Yani $x-1 \in \{0, 2, 4, 6, \dots\}$. Buradan $x \in \{1, 3, 5, 7, \dots\}$ bulunur.
- 2. Satır: Üslü ifadelerin çarpımı bir tam kare doğal sayıya eşittir. $3^y \cdot 3^3 \cdot 3^{-1} = 3^{y+3-1} = 3^{y+2}$. Bu ifadenin tam kare doğal sayı olması için $y+2$ çift ve $y+2 \ge 0$ olmalıdır. Yani $y+2 \in \{0, 2, 4, 6, \dots\}$. Buradan $y \in \{-2, 0, 2, 4, \dots\}$ bulunur.
- $x$ ve $y$ değerleri, tablodaki diğer kuvvetlerden farklı olmalıdır: $x \in \{1, 3, 5, 7, \dots\}$ kümesinden $1$ ve $3$ çıkarıldığında, $x \in \{5, 7, 9, \dots\}$ olur. $x$'in en küçük değeri $5$'tir. $y \in \{-2, 0, 2, 4, \dots\}$ kümesinden $-2$ çıkarıldığında, $y \in \{0, 2, 4, 6, \dots\}$ olur. $y$'nin en küçük değeri $0$'dır.
- $ \star \cdot \triangle = 3^x \cdot 3^y = 3^{x+y} $ ifadesinin en az değeri için $x+y$ toplamının en küçük olması gerekir. En küçük $x=5$ ve en küçük $y=0$ değerlerini alırsak, $x+y = 5+0 = 5$ olur. Bu durumda tablodaki tüm kuvvetler $\{-2, 1, 5, 0, 3, -1\}$ olup hepsi birbirinden farklıdır.
- Buna göre, $ \star \cdot \triangle = 3^{5+0} = 3^5 $ olur.
- Doğru Seçenek D'dır.