Sorunun Çözümü
- Şifrenin 1. hanesi ($d_1$) bir rakamdır.
- Şifrenin 2. ve 3. haneleri ($d_2d_3$) için $d_1^2$ iki basamaklı bir sayı olmalıdır. Bu durumda $10 \le d_1^2 \le 99$ olmalıdır. Bu koşulu sağlayan $d_1$ değerleri $4, 5, 6, 7, 8, 9$'dur.
- Şifrenin 4., 5. ve 6. haneleri ($d_4d_5d_6$) için $(d_2d_3)^2$ üç basamaklı bir sayı olmalıdır. $(d_2d_3)$ aslında $d_1^2$ olduğundan, $(d_1^2)^2 = d_1^4$ üç basamaklı olmalıdır. Yani $100 \le d_1^4 \le 999$ olmalıdır.
- Yukarıdaki koşulları sağlayan $d_1$ değerlerini inceleyelim:
- Eğer $d_1=4$ ise, $d_1^2=16$ ($d_2=1, d_3=6$). $(d_2d_3)^2 = 16^2 = 256$. Bu üç basamaklıdır ($d_4=2, d_5=5, d_6=6$). Bu durumda şifre $416256$ olur. Kullanılan rakamlar: $\{1, 2, 4, 5, 6\}$.
- Eğer $d_1=5$ ise, $d_1^2=25$ ($d_2=2, d_3=5$). $(d_2d_3)^2 = 25^2 = 625$. Bu üç basamaklıdır ($d_4=6, d_5=2, d_6=5$). Bu durumda şifre $525625$ olur. Kullanılan rakamlar: $\{2, 5, 6\}$.
- Eğer $d_1=6$ ise, $d_1^2=36$. $(d_2d_3)^2 = 36^2 = 1296$. Bu dört basamaklıdır, bu yüzden $d_1=6$ olamaz.
- Eğer $d_1=7$ ise, $d_1^2=49$. $(d_2d_3)^2 = 49^2 = 2401$. Bu dört basamaklıdır, bu yüzden $d_1=7$ olamaz.
- Eğer $d_1=8$ ise, $d_1^2=64$. $(d_2d_3)^2 = 64^2 = 4096$. Bu dört basamaklıdır, bu yüzden $d_1=8$ olamaz.
- Eğer $d_1=9$ ise, $d_1^2=81$. $(d_2d_3)^2 = 81^2 = 6561$. Bu dört basamaklıdır, bu yüzden $d_1=9$ olamaz.
- Buna göre, şifrenin ilk hanesi sadece $4$ veya $5$ olabilir.
- Olası şifrelerde kullanılan tüm rakamlar kümesi: $\{1, 2, 4, 5, 6\} \cup \{2, 5, 6\} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$.
- Seçeneklerdeki rakamlardan hangisinin bu kümede olmadığını kontrol edelim:
- A) $2$: Kümede yer alır.
- B) $3$: Kümede yer almaz.
- C) $4$: Kümede yer alır.
- D) $5$: Kümede yer alır.
- Bu şifrenin herhangi bir hanesine kesinlikle yazılamayacak rakam $3$'tür.
- Doğru Seçenek B'dır.