Sorunun Çözümü
ÇÖZÜM:
- ABCD karesinin kenar uzunluğu $a$ cm, CEFG karesinin kenar uzunluğu $b$ cm olsun.
- Boyalı bölgenin alanı, büyük karenin alanından küçük karenin alanının çıkarılmasıyla bulunur: $a^2 - b^2$.
- Soruda boyalı alan $220 cm^2$ olarak verilmiştir. Yani $a^2 - b^2 = 220$.
- İki kare farkı özdeşliğini kullanarak denklemi çarpanlarına ayıralım: $(a-b)(a+b) = 220$.
- $a$ ve $b$ doğal sayılar olduğundan, $a-b$ ve $a+b$ de tam sayılardır. Ayrıca $a+b > a-b$ olmalıdır.
- $a-b$ ve $a+b$ sayılarının çarpımı çift (220) olduğundan, ikisi de çift sayı olmalıdır.
- $220$ sayısının çift çarpan çiftleri: $(2, 110)$ ve $(10, 22)$.
- 1. Durum: $a-b = 2$ ve $a+b = 110$. Denklemleri çözersek $a = 56$ ve $b = 54$ bulunur. CEFG karesinin alanı $b^2 = 54^2 = 2916 cm^2$ olur. Bu seçeneklerde yoktur.
- 2. Durum: $a-b = 10$ ve $a+b = 22$. Denklemleri çözersek $a = 16$ ve $b = 6$ bulunur. CEFG karesinin alanı $b^2 = 6^2 = 36 cm^2$ olur.
- Doğru Seçenek D'dır.