Sorunun Çözümü
- Sarı kartonun alanı $289 cm^2$ olduğundan, kenar uzunluğu $s = \sqrt{289} = 17 cm$ olur.
- Mavi kartonun kenar uzunluğu $m$, yeşil kartonun kenar uzunluğu $y$ olsun. Soruda $y, m, s$ kenar uzunluklarının 1'den büyük birer doğal sayı olduğu belirtilmiştir. Ayrıca Şekil 1'den $y < m < s$ olduğu görülmektedir. Bu durumda $1 < y < m < 17$ olmalıdır. Yani $y \ge 2$ ve $m \le 16$ olmalıdır.
- Şekil 2'deki yerleşime göre, mavi kare sarı kartonun sol üst köşesine, yeşil kare ise sağ alt köşesine yerleştirilmiştir.
- Şekil 2'de görünen sarı bölgeler iki dikdörtgendir.
- Birinci sarı bölge (sağ üstteki): Genişliği $s-m$, yüksekliği $m$'dir. Alanı $A_1 = m(s-m)$ olur.
- İkinci sarı bölge (sol alttaki): Genişliği $s-y$, yüksekliği $y$'dir. Alanı $A_2 = y(s-y)$ olur.
- Mavi ve yeşil kartonların Şekil 2'deki gibi yerleştirilmesi, genellikle bu kartonların üst üste gelmediği (çakışmadığı) anlamına gelir. Bu durumda $m+y \le s$ olmalıdır. Yani $m+y \le 17$.
- Şimdi $A_1 = m(17-m)$ ve $A_2 = y(17-y)$ ifadelerinin alabileceği en küçük değeri, $1 < y < m < 17$ ve $y+m \le 17$ koşulları altında bulmalıyız.
- $f(x) = x(17-x)$ fonksiyonunun değerlerini inceleyelim:
- $f(2) = 2(17-2) = 2 \times 15 = 30$
- $f(3) = 3(17-3) = 3 \times 14 = 42$
- $f(4) = 4(17-4) = 4 \times 13 = 52$
- $f(5) = 5(17-5) = 5 \times 12 = 60$
- $f(6) = 6(17-6) = 6 \times 11 = 66$
- $f(7) = 7(17-7) = 7 \times 10 = 70$
- $f(8) = 8(17-8) = 8 \times 9 = 72$
- $f(9) = 9(17-9) = 9 \times 8 = 72$
- $f(10) = 10(17-10) = 10 \times 7 = 70$
- $f(11) = 11(17-11) = 11 \times 6 = 66$
- $f(12) = 12(17-12) = 12 \times 5 = 60$
- $f(13) = 13(17-13) = 13 \times 4 = 52$
- $f(14) = 14(17-14) = 14 \times 3 = 42$
- $f(15) = 15(17-15) = 15 \times 2 = 30$
- $f(16) = 16(17-16) = 16 \times 1 = 16$
- Koşullarımız: $2 \le y < m \le 16$ ve $y+m \le 17$.
- Eğer $y=2$ olursa, $A_2 = f(2) = 30$ olur. $m$ için $2 < m < 17$ ve $2+m \le 17 \implies m \le 15$ koşulları sağlanmalıdır. Yani $m \in \{3, 4, ..., 15\}$ olabilir. Bu $m$ değerleri için $A_1 = f(m)$ değerleri $f(3)=42, f(4)=52, ..., f(15)=30$ şeklindedir. Bu değerlerin hepsi $30$'a eşit veya $30$'dan büyüktür. Dolayısıyla, $y=2$ seçildiğinde, $\min(A_1, A_2) = \min(f(m), 30) = 30$ olur. Örneğin, $y=2$ ve $m=3$ için $A_2=30$ ve $A_1=42$'dir. Bu durumda sarı bölgelerden birinin alanı en az $30 cm^2$ olur.
- Eğer $y=3$ olursa, $A_2 = f(3) = 42$ olur. $m$ için $3 < m < 17$ ve $3+m \le 17 \implies m \le 14$ koşulları sağlanmalıdır. Yani $m \in \{4, 5, ..., 14\}$ olabilir. Bu $m$ değerleri için $A_1 = f(m)$ değerleri $f(4)=52, ..., f(14)=42$ şeklindedir. Bu değerlerin hepsi $42$'ye eşit veya $42$'den büyüktür. Dolayısıyla, $y=3$ seçildiğinde, $\min(A_1, A_2) = \min(f(m), 42) = 42$ olur.
- $y$ değeri arttıkça, $A_2 = f(y)$ değeri de artar (çünkü $y \le 8$ için $f(y)$ artmaktadır). Bu durumda, en küçük $\min(A_1, A_2)$ değeri $y=2$ iken elde edilen $30$'dur.
- Doğru Seçenek D'dır.