Soruyu adım adım çözelim:

• Adım 1: Verilen ifadeyi sadeleştirelim.

  Verilen ifade: \(x \cdot 10 + \frac{x}{10} + x + \frac{x}{100}\)

  Bu ifadeyi ondalık sayılarla yazarsak:

  \(10x + 0.1x + x + 0.01x\)

  Terimleri birleştirelim:

  \((10 + 0.1 + 1 + 0.01)x = 11.11x\)

• Adım 2: İşlemin sonucundan büyük en küçük doğal sayıyı bulalım.

  x bir rakamdır, yani \(x \in \{0, 1, 2, ..., 9\}\). Ancak, sonucun asal çarpanı olacağı için x'in 0 olamayacağını anlıyoruz. Bu durumda \(x \in \{1, 2, ..., 9\}\).

  İşlemin sonucu \(11.11x\) olduğundan, bundan büyük en küçük doğal sayı \(\lfloor 11.11x \rfloor + 1\) olacaktır.

• Adım 3: x değerlerini deneyerek en büyük asal çarpanı 13 olan sayıyı bulalım.

  Bulunan doğal sayıya N diyelim. N'nin en büyük asal çarpanı 13 olmalıdır.

  • Eğer \(x=1\) ise, \(11.11 \times 1 = 11.11\). N = \(\lfloor 11.11 \rfloor + 1 = 11 + 1 = 12\). 12'nin asal çarpanları \(2^2 \times 3\). En büyük asal çarpanı 3'tür. (Uygun değil)
  • Eğer \(x=2\) ise, \(11.11 \times 2 = 22.22\). N = \(\lfloor 22.22 \rfloor + 1 = 22 + 1 = 23\). 23 bir asal sayıdır. En büyük asal çarpanı 23'tür. (Uygun değil)
  • Eğer \(x=3\) ise, \(11.11 \times 3 = 33.33\). N = \(\lfloor 33.33 \rfloor + 1 = 33 + 1 = 34\). 34'ün asal çarpanları \(2 \times 17\). En büyük asal çarpanı 17'dir. (Uygun değil)
  • Eğer \(x=4\) ise, \(11.11 \times 4 = 44.44\). N = \(\lfloor 44.44 \rfloor + 1 = 44 + 1 = 45\). 45'in asal çarpanları \(3^2 \times 5\). En büyük asal çarpanı 5'tir. (Uygun değil)
  • Eğer \(x=5\) ise, \(11.11 \times 5 = 55.55\). N = \(\lfloor 55.55 \rfloor + 1 = 55 + 1 = 56\). 56'nın asal çarpanları \(2^3 \times 7\). En büyük asal çarpanı 7'dir. (Uygun değil)
  • Eğer \(x=6\) ise, \(11.11 \times 6 = 66.66\). N = \(\lfloor 66.66 \rfloor + 1 = 66 + 1 = 67\). 67 bir asal sayıdır. En büyük asal çarpanı 67'dir. (Uygun değil)
  • Eğer \(x=7\) ise, \(11.11 \times 7 = 77.77\). N = \(\lfloor 77.77 \rfloor + 1 = 77 + 1 = 78\).

    78'in asal çarpanlarını bulalım: \(78 = 2 \times 39 = 2 \times 3 \times 13\). En büyük asal çarpanı 13'tür. Bu, sorudaki koşulu sağlamaktadır.

  Dolayısıyla, aradığımız doğal sayı N = 78'dir.

• Adım 4: Bulunan doğal sayının rakamları toplamını hesaplayalım.

  N = 78

  Rakamları toplamı = \(7 + 8 = 15\)

Cevap B seçeneğidir.