Sorunun Çözümü
- Ondalık Gösterim Denklemi: Düşen bilye sayıları $a, b, c, d$ olmak üzere, ondalık gösterim $a \times 10^1 + b \times 10^0 + c \times 10^{-1} + d \times 10^{-2}$ şeklindedir. Her küreden en fazla $10$ bilye düşebileceğinden, $0 \le a, b, c, d \le 10$ olmalıdır.
- Verilen Değerin Ayrıştırılması: Sinan ve Aylin'in elde ettiği değer $10,1$'dir. Bu değeri $10a + b + 0.1c + 0.01d = 10.1$ olarak yazabiliriz.
- Tam Kısım ve Ondalık Kısım Çözümü:
Denklemi tam ve ondalık kısımlara ayıralım:
- Tam kısım: $10a + b = 10$
- Ondalık kısım: $0.1c + 0.01d = 0.1$. Her iki tarafı $100$ ile çarparsak $10c + d = 10$ olur.
- Olası Bilye Sayısı Kombinasyonları:
- $10a + b = 10$ denklemi için $a$ ve $b$ değerleri ($0 \le a, b \le 10$):
- Eğer $a=0$ ise $b=10$. Yani $(a, b) = (0, 10)$.
- Eğer $a=1$ ise $b=0$. Yani $(a, b) = (1, 0)$.
- $10c + d = 10$ denklemi için $c$ ve $d$ değerleri ($0 \le c, d \le 10$):
- Eğer $c=0$ ise $d=10$. Yani $(c, d) = (0, 10)$.
- Eğer $c=1$ ise $d=0$. Yani $(c, d) = (1, 0)$.
- $10a + b = 10$ denklemi için $a$ ve $b$ değerleri ($0 \le a, b \le 10$):
- Toplam Düşen Bilye Sayıları:
Yukarıdaki olası $(a, b)$ ve $(c, d)$ ikililerini birleştirerek $(a, b, c, d)$ kombinasyonlarını ve her bir durum için düşen toplam bilye sayısını bulalım:
- $(0, 10, 0, 10) \implies 0 + 10 + 0 + 10 = 20$ bilye
- $(0, 10, 1, 0) \implies 0 + 10 + 1 + 0 = 11$ bilye
- $(1, 0, 0, 10) \implies 1 + 0 + 0 + 10 = 11$ bilye
- $(1, 0, 1, 0) \implies 1 + 0 + 1 + 0 = 2$ bilye
- Sinan ve Aylin'in Durumu: Soruda Sinan ve Aylin'in kutucuklara düşürdüğü top sayılarının birbirinden farklı olduğu belirtilmiştir. Bu, onların elde ettiği toplam bilye sayılarının farklı olması gerektiği anlamına gelir.
- Toplamın Hesaplanması:
Olası farklı toplam bilye sayıları çiftlerini ve bunların toplamlarını inceleyelim:
- $2 + 11 = 13$
- $2 + 20 = 22$
- $11 + 20 = 31$
- Doğru Seçenek C'dır.