Sorunun Çözümü
- Verilen sayıları 2'nin kuvveti olarak yazalım:
- $\frac{1}{32} = 2^{-5}$
- $\frac{1}{8} = 2^{-3}$
- $8 = 2^3$
- $16 = 2^4$
- $32 = 2^5$
- $64 = 2^6$
- Boyalı karelerdeki sayıların üslerini $e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6$ olarak adlandıralım. (Karelerin konumları: $s_1=R_1C_1, s_2=R_1C_2, s_3=R_1C_3, s_4=R_2C_1, s_5=R_3C_1, s_6=R_3C_2$)
- K, L, M'nin tanımına göre:
- K ($R_2C_2$ karesi): Aynı satır ve sütundaki boyalı kareler $s_4, s_2, s_6$'dır. Bu nedenle $K = s_2 \cdot s_4 \cdot s_6 = 2^{e_2+e_4+e_6}$.
- L ($R_2C_3$ karesi): Aynı satır ve sütundaki boyalı kareler $s_4, s_3$'tür. Bu nedenle $L = s_3 \cdot s_4 = 2^{e_3+e_4}$.
- M ($R_3C_3$ karesi): Aynı satır ve sütundaki boyalı kareler $s_5, s_6, s_3$'tür. Bu nedenle $M = s_3 \cdot s_5 \cdot s_6 = 2^{e_3+e_5+e_6}$.
- Verilen $K \cdot L = 2^7$ eşitliğini kullanalım:
- $K \cdot L = (2^{e_2+e_4+e_6}) \cdot (2^{e_3+e_4}) = 2^{e_2+e_3+2e_4+e_6}$.
- Dolayısıyla, $e_2+e_3+2e_4+e_6 = 7$ olmalıdır.
- M değerini bulmak için üsleri atayalım:
- Seçeneklere bakarak, $M = 2^3$ (B seçeneği) olması için $e_3+e_5+e_6 = 3$ olmalıdır.
- $E = \{-5, -3, 3, 4, 5, 6\}$ kümesinden toplamı 3 olan bir üçlü $\{-5, 3, 5\}$'tir (çünkü $-5+3+5=3$).
- Bu durumda, $\{e_3, e_5, e_6\}$ kümesi $\{-5, 3, 5\}$ olur. Geriye kalan üsler $\{e_1, e_2, e_4\}$ kümesi için $\{-3, 4, 6\}$ olur.
- $e_2+e_3+2e_4+e_6 = 7$ denklemini kontrol edelim. Eğer $e_3=-5$ ve $e_6=3$ (veya tersi) ve $e_5=5$ seçersek:
- $e_2 + (-5) + 2e_4 + 3 = 7 \implies e_2 + 2e_4 - 2 = 7 \implies e_2 + 2e_4 = 9$.
- Geriye kalan üsler kümesi $\{-3, 4, 6\}$'dan $e_2$ ve $e_4$ seçmeliyiz. Eğer $e_4=6$ seçersek, $e_2 + 2(6) = 9 \implies e_2 + 12 = 9 \implies e_2 = -3$.
- Bu atama geçerlidir: $e_2=-3, e_4=6$. Geriye kalan $e_1=4$ olur.
- Tüm üsler birer kez kullanıldı: $e_1=4, e_2=-3, e_3=-5, e_4=6, e_5=5, e_6=3$.
- Denklemi kontrol edelim: $e_2+e_3+2e_4+e_6 = -3 + (-5) + 2(6) + 3 = -3 - 5 + 12 + 3 = 7$. Eşitlik sağlanır.
- Bu atamalara göre M değeri: $M = 2^{e_3+e_5+e_6} = 2^{-5+5+3} = 2^3$.
- M değeri $2^3$'tür.