Sorunun Çözümü
- Toplam banknot sayısı $100$'dür. Banknotlar $100 TL$, $50 TL$ ve $20 TL$'liktir.
- $100 TL$'lik banknot sayısı $3$'ün doğal sayı kuvveti olmalıdır. Olası değerler: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$. ($3^5=243 > 100$ olduğu için $81$ en büyük değerdir.)
- $50 TL$'lik banknot sayısı $2$'nin doğal sayı kuvveti olmalıdır. Olası değerler: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$. ($2^7=128 > 100$ olduğu için $64$ en büyük değerdir.)
- Toplam paranın en fazla olması için, değeri yüksek olan banknotların sayısını mümkün olduğunca fazla tutmalıyız.
- $N_{100}$ adet $100 TL$, $N_{50}$ adet $50 TL$ ve $N_{20}$ adet $20 TL$ banknot olsun. Toplam banknot sayısı $N_{100} + N_{50} + N_{20} = 100$.
- Toplam para miktarı: $100 N_{100} + 50 N_{50} + 20 N_{20}$.
- $N_{20} = 100 - N_{100} - N_{50}$ yerine koyarsak, toplam miktar: $100 N_{100} + 50 N_{50} + 20 (100 - N_{100} - N_{50}) = 80 N_{100} + 30 N_{50} + 2000$.
- Bu ifadeyi maksimize etmek için, katsayısı daha büyük olan $N_{100}$'ü, sonra $N_{50}$'yi mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz.
- En büyük $N_{100}$ değeri $81$ olabilir ($3^4 = 81$).
- $N_{100} = 81$ ise, geriye kalan banknot sayısı $100 - 81 = 19$'dur. Bu $19$ banknot $N_{50}$ ve $N_{20}$ için ayrılmıştır.
- $N_{50}$ için $19$'dan küçük veya eşit en büyük $2$'nin kuvveti $16$'dır ($2^4 = 16$).
- Buna göre, $N_{100} = 81$ ve $N_{50} = 16$ olur.
- $N_{20} = 100 - 81 - 16 = 3$.
- Toplam para miktarı: $81 \times 100 TL + 16 \times 50 TL + 3 \times 20 TL = 8100 TL + 800 TL + 60 TL = 8960 TL$.
- Doğru Seçenek C'dır.