Sorunun Çözümü
- Yeliz'in yaşı $Y$, kardeşinin yaşı $K$ olsun.
- Sorudaki koşullar: $Y < 20$, $K < 20$, $Y > K$ ve $Y$ ile $K$ aralarında asal değildir ($\text{GCD}(Y, K) > 1$).
- Yaşlar toplamını ($Y+K$) en fazla yapmak için $Y$ ve $K$ değerlerini mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz.
- $Y$ için en büyük olası değer $19$'dur. Eğer $Y=19$ olursa, $19$ asal sayı olduğu için $K$'nın $19$'un bir katı olması gerekir. Ancak $K < 19$ olduğundan, $K$ için uygun bir pozitif tam sayı değeri yoktur.
- Bu nedenle $Y$ için bir sonraki en büyük değeri, yani $Y=18$'i deneyelim.
- Şimdi $K < 18$ olmalı ve $\text{GCD}(18, K) > 1$ koşulunu sağlamalıdır. $K$'yı en büyük seçmek için $18$'e yakın değerlere bakalım.
- $K=17$ için $\text{GCD}(18, 17) = 1$'dir. Bu, aralarında asal olmama koşulunu sağlamaz.
- $K=16$ için $\text{GCD}(18, 16) = 2$'dir. Bu koşulu sağlar ($2 > 1$).
- Bu durumda Yeliz'in yaşı $18$, kardeşinin yaşı $16$ olabilir. Her iki yaş da $20$'den küçüktür ve aralarında asal değildir.
- Yaşlar toplamı $18 + 16 = 34$.
- Doğru Seçenek C'dır.