Sorunun Çözümü
- Şifre $abcd$ olsun. Rakamlar $a, b, c, d$ farklıdır.
- $ab = 10a+b$ ve $cd = 10c+d$ iki basamaklı sayıları asal değildir.
- $ab$ ve $cd$ sayıları aralarında asaldır, yani $\text{gcd}(ab, cd) = 1$.
- $a+b+c+d$ toplamının en büyük değeri aranmaktadır.
- Rakamların toplamını en büyük yapmak için en büyük rakamlar denenir.
- Toplam $30$ denemesi: Rakamlar $9, 8, 7, 6$ seçilirse toplam $9+8+7+6 = 30$ olur.
- Bu rakamlarla oluşturulabilecek asal olmayan iki basamaklı sayılar şunlardır: $98, 96, 87, 86, 78, 76, 69, 68$.
- Bu sayıların asal çarpanları incelendiğinde ($98=2 \times 7^2$, $96=2^5 \times 3$, $87=3 \times 29$, $86=2 \times 43$, $78=2 \times 3 \times 13$, $76=2^2 \times 19$, $69=3 \times 23$, $68=2^2 \times 17$), bu rakamları kullanarak oluşturulan herhangi iki asal olmayan sayının (kalan rakamları kullanarak) ortak bir çarpanı ($2$ veya $3$) olduğu görülür.
- Örneğin, $ab=98$ (rakamlar $9, 8$) ise, $cd$ için kalan rakamlar $7, 6$ ile $76$ oluşturulur. $\text{gcd}(98, 76) = 2 \neq 1$.
- Bu nedenle, rakamlar toplamı $30$ olamaz.
- Toplam $29$ denemesi: Rakamlar $9, 8, 7, 5$ seçilirse toplam $9+8+7+5 = 29$ olur.
- Bu rakamlarla oluşturulabilecek asal olmayan iki basamaklı sayılar şunlardır: $98, 95, 87, 85, 78, 75, 58, 57$.
- $ab=98$ (rakamlar $9, 8$) ve $cd=75$ (rakamlar $7, 5$) seçelim:
- Rakamlar $9, 8, 7, 5$ farklıdır.
- $98$ asal değildir ($98 = 2 \times 49$).
- $75$ asal değildir ($75 = 3 \times 25$).
- $\text{gcd}(98, 75) = \text{gcd}(2 \times 7^2, 3 \times 5^2) = 1$. Sayılar aralarında asaldır.
- Tüm koşullar sağlanmıştır. Bu durumda rakamların toplamı $29$ olabilir.
- Sercan'ın şifresindeki rakamların toplamı en çok $29$ olabilir.
- Doğru Seçenek C'dır.