Sorunun Çözümü
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olsun. Alan $A = a \times b$'dir.
- Kenar uzunlukları aralarında asal olduğundan $\text{GCD}(a, b) = 1$ olmalıdır.
- Bir alanın kenar uzunlukları aralarında asal olacak şekilde kesinlikle belirlenebilmesi için, alanın kendisinin karesel çarpan içermemesi (yani asal çarpanlarının kuvvetlerinin $1$ olması) gerekir.
- Seçenekleri inceleyelim:
- A) $45 = 3^2 \times 5$. $3^2$ karesel çarpan içerir. Örneğin, kenarlar $3 cm$ ve $15 cm$ olursa $\text{GCD}(3, 15) = 3 \neq 1$ olur.
- B) $50 = 2 \times 5^2$. $5^2$ karesel çarpan içerir. Örneğin, kenarlar $5 cm$ ve $10 cm$ olursa $\text{GCD}(5, 10) = 5 \neq 1$ olur.
- C) $70 = 2 \times 5 \times 7$. Karesel çarpan içermez (tüm asal çarpanların kuvveti $1$'dir). Bu durumda $70$'in tüm çarpan çiftleri aralarında asaldır. (Örnek: $(1, 70)$, $(2, 35)$, $(5, 14)$, $(7, 10)$).
- D) $88 = 2^3 \times 11$. $2^3$ karesel çarpan içerir. Örneğin, kenarlar $2 cm$ ve $44 cm$ olursa $\text{GCD}(2, 44) = 2 \neq 1$ olur.
- Sadece $70 cm^2$ alanı karesel çarpan içermediği için, kenar uzunlukları aralarında asal olacak şekilde kesinlikle belirlenebilir.
- Doğru Seçenek C'dır.