Sorunun Çözümü
- Boş dairelere yazılacak sayılar $x, y, z$ olsun. Şekildeki sayılar $4$ ve $5$'tir. Tüm sayılar farklı doğal sayılar olmalıdır.
- A üçgeninin köşelerindeki sayılar $4, 5, z$'dir. Çarpımları $P_A = 4 \cdot 5 \cdot z = 20z$'dir.
- B üçgeninin köşelerindeki sayılar $x, y, z$'dir. Çarpımları $P_B = x \cdot y \cdot z = xyz$'dir.
- $P_A$ ve $P_B$ aralarında asal olduğuna göre, $GCD(20z, xyz) = 1$ olmalıdır.
- Bu koşulun sağlanması için $z$ mutlaka $1$ olmalıdır. Çünkü $z > 1$ olsaydı, $z$ hem $20z$'nin hem de $xyz$'nin ortak böleni olurdu ve $GCD(20z, xyz) \ge z > 1$ olurdu. Dolayısıyla $z=1$.
- $z=1$ olduğunda, $P_A = 20 \cdot 1 = 20$ ve $P_B = x \cdot y \cdot 1 = xy$ olur.
- Şimdi $GCD(20, xy) = 1$ olmalıdır. $20$'nin asal çarpanları $2$ ve $5$'tir. Bu durumda $xy$ sayısı $2$'ye veya $5$'e bölünmemelidir. Yani $x$ ve $y$ sayıları $2$'nin veya $5$'in katı olamaz.
- Ayrıca, dairelerdeki tüm sayılar farklı doğal sayılar olmalıdır. Kullanılan sayılar $4, 5, 1$'dir. Bu yüzden $x, y \ne 1, 4, 5$ olmalıdır.
- $x$ ve $y$ için en küçük farklı doğal sayıları bulalım:
- $1$ (kullanıldı)
- $2$ (2'nin katı, olamaz)
- $3$ (2 veya 5'in katı değil, kullanılabilir)
- $4$ (kullanıldı)
- $5$ (kullanıldı)
- $6$ (2'nin katı, olamaz)
- $7$ (2 veya 5'in katı değil, kullanılabilir)
- $8$ (2'nin katı, olamaz)
- $9$ (2 veya 5'in katı değil, kullanılabilir, ancak $3$ ve $7$'den sonra gelir)
- $x$ ve $y$ için en küçük farklı doğal sayılar $3$ ve $7$'dir.
- İçi boş dairelere yazılacak sayıların toplamı $x+y+z = 3+7+1 = 11$'dir.
- Doğru Seçenek D'dır.