Sorunun Çözümü
- Dikdörtgenin uzun kenarı $a = 20$ cm olarak verilmiştir. Kısa kenarı $b$ olsun.
- Kenar uzunlukları aralarında asal olduğu için $\text{EBOB}(20, b) = 1$ olmalıdır. Ayrıca, $b < 20$ olmalıdır.
- Dikdörtgenin çevre uzunluğu $P = 2(a + b) = 2(20 + b)$ formülü ile bulunur. Buradan $b = \frac{P}{2} - 20$ elde edilir.
- Şimdi her bir seçeneği kontrol edelim:
- A) P = 54: $b = \frac{54}{2} - 20 = 27 - 20 = 7$.
$7 < 20$ ve $\text{EBOB}(20, 7) = 1$ (20'nin çarpanları 2, 5; 7'nin çarpanı 7. Ortak çarpan yok). Bu çevre uzunluğu olabilir. - B) P = 62: $b = \frac{62}{2} - 20 = 31 - 20 = 11$.
$11 < 20$ ve $\text{EBOB}(20, 11) = 1$ (20'nin çarpanları 2, 5; 11'in çarpanı 11. Ortak çarpan yok). Bu çevre uzunluğu olabilir. - C) P = 70: $b = \frac{70}{2} - 20 = 35 - 20 = 15$.
$15 < 20$ ancak $\text{EBOB}(20, 15) = 5$ (20'nin çarpanları 2, 5; 15'in çarpanları 3, 5. Ortak çarpan 5). Kenar uzunlukları aralarında asal değildir. Bu çevre uzunluğu olamaz. - D) P = 78: $b = \frac{78}{2} - 20 = 39 - 20 = 19$.
$19 < 20$ ve $\text{EBOB}(20, 19) = 1$ (20'nin çarpanları 2, 5; 19'un çarpanı 19. Ortak çarpan yok). Bu çevre uzunluğu olabilir. - Doğru Seçenek C'dır.