Sorunun Çözümü
- İlk dikdörtgenin kenar uzunlukları $8 cm$ ve $9 cm$'dir. Alanı $A_1 = 8 \times 9 = 72 cm^2$ olarak bulunur.
- İkinci dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu $7 cm$'dir. Uzun kenar uzunluğuna $x cm$ diyelim. Alanı $A_2 = 7 \times x cm^2$ olur.
- Soruda, bu iki dikdörtgenin alanlarının (yani $72$ ve $7x$) aralarında asal olduğu belirtilmiştir. Bu, $GCD(72, 7x) = 1$ demektir.
- $72$'nin asal çarpanları $2$ ve $3$'tür ($72 = 2^3 \times 3^2$).
- $7x$ sayısı, $72$ ile aralarında asal olabilmesi için $2$ ve $3$ asal çarpanlarını içermemelidir.
- $7$ sayısı $2$ veya $3$'e bölünmediği için, $x$ sayısı da $2$ ve $3$'e bölünmemelidir. Yani $x$ tek sayı olmalı ve $3$'ün katı olmamalıdır.
- Ayrıca, ikinci dikdörtgenin uzun kenarı $x$, kısa kenarından büyük olmalıdır, yani $x > 7$ olmalıdır.
- $x > 7$ koşulunu sağlayan ve $2$ ile $3$'e bölünmeyen en küçük tam sayıları deneyelim:
- $x=8$: Çift sayıdır ($2$'ye bölünür). Alan $7 \times 8 = 56$. $GCD(72, 56) = 8 \ne 1$.
- $x=9$: $3$'e bölünür. Alan $7 \times 9 = 63$. $GCD(72, 63) = 9 \ne 1$.
- $x=10$: Çift sayıdır ($2$'ye bölünür). Alan $7 \times 10 = 70$. $GCD(72, 70) = 2 \ne 1$.
- $x=11$: Tek sayıdır ve $3$'e bölünmez. $x > 7$ koşulunu sağlar. Alan $7 \times 11 = 77$. $GCD(72, 77) = 1$ (çünkü $72 = 2^3 \times 3^2$ ve $77 = 7 \times 11$, ortak asal çarpanları yoktur).
- Bu durumda, sağdaki dikdörtgenin uzun kenar uzunluğu en az $11 cm$ olabilir.
- Doğru Seçenek D'dır.