Sorunun Çözümü
- Tahtalar hiç parça artmadan 'a' cm genişliğinde parçalara ayrıldığı için, tahtanın her iki kenar uzunluğu da 'a' sayısının bir katı olmalıdır. Bu durumda 'a', tahtanın kenar uzunluklarının ortak böleni olmalıdır.
- Soruda "a'nın alabileceği sadece bir doğal sayı değeri vardır" ifadesi, tahtanın kenar uzunluklarının tek bir ortak doğal sayı böleni olduğu anlamına gelir. Her doğal sayının 1 ortak böleni olduğu için, bu durum kenar uzunluklarının aralarında asal olması, yani en büyük ortak bölenlerinin $1$ olması gerektiğini gösterir. Bu durumda 'a' değeri sadece $1$ olabilir.
- Seçenekleri inceleyelim:
- A) $40 \text{ cm}$ ve $45 \text{ cm}$: Ortak bölenleri $1$ ve $5$'tir. 'a' için iki değer vardır.
- B) $30 \text{ cm}$ ve $36 \text{ cm}$: Ortak bölenleri $1, 2, 3, 6$'dır. 'a' için dört değer vardır.
- C) $32 \text{ cm}$ ve $49 \text{ cm}$: $32 = 2^5$ ve $49 = 7^2$. Bu sayıların $1$'den başka ortak böleni yoktur. Yani $EBOB(32, 49) = 1$. 'a' için sadece $1$ değeri mümkündür.
- D) $35 \text{ cm}$ ve $49 \text{ cm}$: Ortak bölenleri $1$ ve $7$'dir. 'a' için iki değer vardır.
- Sadece C seçeneğindeki kenar uzunlukları aralarında asaldır ve bu da 'a' için sadece bir doğal sayı değeri ($1$) olmasını sağlar.
- Doğru Seçenek C'dır.