Sorunun Çözümü
- Büyük dikdörtgen, iki satır ve üç sütundan oluşan altı küçük dikdörtgene ayrılmıştır.
- Üst satırdaki dikdörtgenlerin yüksekliği $H_1$, alt satırdakilerin yüksekliği $H_2$ olsun.
- Üst-sol ve üst-orta dikdörtgenlerin alanları sırasıyla $63 cm^2$ ve $99 cm^2$'dir. Bu durumda $H_1$, $63$ ve $99$'un ortak böleni olmalıdır. $GCD(63, 99) = 9$. Kenar uzunlukları $1$'den büyük doğal sayı olduğundan, $H_1$ için olası değerler $3$ veya $9$'dur.
- Alt-sol ve alt-orta dikdörtgenlerin alanları sırasıyla $70 cm^2$ ve $63 cm^2$'dir. Bu durumda $H_2$, $70$ ve $63$'ün ortak böleni olmalıdır. $GCD(70, 63) = 7$. Kenar uzunlukları $1$'den büyük doğal sayı olduğundan, $H_2$ için tek olası değer $7$'dir.
- Büyük dikdörtgenin toplam yüksekliği $H = H_1 + H_2$'dir.
- Büyük dikdörtgenin toplam genişliği $W$, üst satırdaki dikdörtgenlerin genişlikleri toplamına ($W_{TL} + W_{TM} + W_{TR}$) ve alt satırdaki dikdörtgenlerin genişlikleri toplamına ($W_{BL} + W_{BM} + W_{BR}$) eşittir.
- Durum 1: $H_1 = 3$
- $H_1 = 3 cm$ ve $H_2 = 7 cm$ olduğundan, toplam yükseklik $H = 3 + 7 = 10 cm$'dir.
- Üst-sol dikdörtgenin genişliği $W_{TL} = 63 / 3 = 21 cm$.
- Üst-orta dikdörtgenin genişliği $W_{TM} = 99 / 3 = 33 cm$.
- Alt-sol dikdörtgenin genişliği $W_{BL} = 70 / 7 = 10 cm$.
- Alt-orta dikdörtgenin genişliği $W_{BM} = 63 / 7 = 9 cm$.
- Toplam genişlik eşitliği: $W_{TL} + W_{TM} + W_{TR} = W_{BL} + W_{BM} + W_{BR}$ $21 + 33 + W_{TR} = 10 + 9 + W_{BR}$ $54 + W_{TR} = 19 + W_{BR}$ $W_{BR} - W_{TR} = 35$.
- Çevreyi en aza indirmek için $W_{TR}$ ve $W_{BR}$ en küçük doğal sayılar olmalıdır (1'den büyük). $W_{TR} = 2 cm$ seçersek, $W_{BR} = 35 + 2 = 37 cm$ olur.
- Toplam genişlik $W = 54 + 2 = 56 cm$'dir.
- Çevre $= 2(W+H) = 2(56 + 10) = 2(66) = 132 cm$.
- Durum 2: $H_1 = 9$
- $H_1 = 9 cm$ ve $H_2 = 7 cm$ olduğundan, toplam yükseklik $H = 9 + 7 = 16 cm$'dir.
- Üst-sol dikdörtgenin genişliği $W_{TL} = 63 / 9 = 7 cm$.
- Üst-orta dikdörtgenin genişliği $W_{TM} = 99 / 9 = 11 cm$.
- Alt-sol dikdörtgenin genişliği $W_{BL} = 70 / 7 = 10 cm$.
- Alt-orta dikdörtgenin genişliği $W_{BM} = 63 / 7 = 9 cm$.
- Toplam genişlik eşitliği: $W_{TL} + W_{TM} + W_{TR} = W_{BL} + W_{BM} + W_{BR}$ $7 + 11 + W_{TR} = 10 + 9 + W_{BR}$ $18 + W_{TR} = 19 + W_{BR}$ $W_{TR} - W_{BR} = 1$.
- Çevreyi en aza indirmek için $W_{TR}$ ve $W_{BR}$ en küçük doğal sayılar olmalıdır (1'den büyük). $W_{BR} = 2 cm$ seçersek, $W_{TR} = 1 + 2 = 3 cm$ olur.
- Toplam genişlik $W = 18 + 3 = 21 cm$'dir.
- Çevre $= 2(W+H) = 2(21 + 16) = 2(37) = 74 cm$.
- İki durumdan elde edilen çevre değerleri $132 cm$ ve $74 cm$'dir. En küçük çevre $74 cm$'dir.
- Doğru Seçenek D'dır.