Sorunun Çözümü
- Afişlerin ortak kenar uzunluğu $a$ cm, diğer kenarları $b$ cm ve $c$ cm olsun. Kenar uzunlukları tam sayıdır.
- Afişlerin alanları: $a \times b = 180 cm^2$ ve $a \times c = 195 cm^2$.
- $a$ sayısı, $180$ ve $195$'in ortak böleni olmalıdır.
- $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ ve $195 = 3 \times 5 \times 13$. Ortak bölenler $1, 3, 5, 15$'tir.
- Panonun iç genişliği $(b+c)$ cm, iç yüksekliği $a$ cm'dir.
- Çerçeve kalınlığı $5 cm$ olduğundan, panonun dış genişliği $(b+c) + 2 \times 5 = (b+c) + 10$ cm. Dış yüksekliği $a + 2 \times 5 = a + 10$ cm.
- Panonun çevre uzunluğu $2 \times ((b+c) + 10 + a + 10) = 2 \times (a+b+c+20)$ cm'dir. Çevrenin en az olması için $a+b+c$ toplamının en az olması gerekir.
- $a$ için ortak bölenleri deneyelim:
- Eğer $a = 15$ ise: $b = 180/15 = 12$, $c = 195/15 = 13$. $a+b+c = 15+12+13 = 40$.
- Eğer $a = 5$ ise: $b = 180/5 = 36$, $c = 195/5 = 39$. $a+b+c = 5+36+39 = 80$.
- Eğer $a = 3$ ise: $b = 180/3 = 60$, $c = 195/3 = 65$. $a+b+c = 3+60+65 = 128$.
- Eğer $a = 1$ ise: $b = 180/1 = 180$, $c = 195/1 = 195$. $a+b+c = 1+180+195 = 376$.
- $a+b+c$ toplamının en küçük değeri $40$'tır ( $a=15$ için).
- Panonun en az çevre uzunluğu: $2 \times (40 + 20) = 2 \times 60 = 120$ cm.
- Doğru Seçenek C'dır.