Sorunun Çözümü
- Kartondaki mavi kartların uzunluğu $20 cm$, pembe kartların uzunluğu $10 cm$'dir.
- Pembe kartlar, mavi kartlara göre $10 cm$ sağa kaydırılarak yerleştirilmiştir.
- Görseldeki yerleşim düzenine göre, mavi kartların başlangıç noktaları $0, X, 2X, \dots$ şeklinde, pembe kartların başlangıç noktaları ise $10, 10+X, 10+2X, \dots$ şeklinde bir örüntü oluşturur. Burada $X$ bir tekrar eden birim uzunluğudur.
- Kartların her iki sırası da kartonun aynı uzunluğunda bitmelidir. Son mavi kartın bitiş noktası $L$ ise, son mavi kartın başlangıç noktası $(N-1)X$ ve uzunluğu $20 cm$ olduğundan $L = (N-1)X + 20$ olur.
- Benzer şekilde, son pembe kartın bitiş noktası $L$ ise, son pembe kartın başlangıç noktası $10+(M-1)X$ ve uzunluğu $10 cm$ olduğundan $L = 10 + (M-1)X + 10 = (M-1)X + 20$ olur.
- Bu iki ifadeyi eşitlediğimizde $(N-1)X + 20 = (M-1)X + 20$ ve dolayısıyla $(N-1)X = (M-1)X$ elde ederiz. Bu da $N=M$ olduğunu gösterir. Yani her iki sıra için de aynı sayıda tekrar eden birim vardır.
- Bu durumda kartonun toplam uzunluğu $L = (N-1)X + 20$ formundadır. Buradan $L-20 = (N-1)X$ olduğu anlaşılır. Yani $L-20$ değeri $X$'in bir tam katı olmalıdır.
- Tekrar eden birim uzunluğu $X$, mavi kartın uzunluğundan ($20 cm$) ve pembe kartın uzunluğundan ($10 cm$) büyük veya eşit olmalıdır. Ayrıca, pembe kartın $10 cm$ kaydırılmış olması nedeniyle, $X$ en az $20 cm$ olmalıdır (çünkü pembe kart $10 cm$'den $20 cm$'ye kadar yer kaplar). Yani $X \ge 20 cm$.
- Soruda kartonun uzunluğunun $2$ metreden ($200 cm$) fazla ve santimetre cinsinden bir tam sayı olduğu belirtilmiştir. Yani $L > 200 cm$.
- Seçenekleri deneyerek en küçük $L$ değerini bulalım:
- A) $L = 210 cm$: $L-20 = 210-20 = 190$. $190 = (N-1)X$. $X$ değeri $190$'ın bir böleni olmalı ve $X \ge 20$ olmalıdır. $190$'ın $20$'den büyük bölenleri: $38, 95, 190$. En küçük $X$ değeri $38 cm$ olabilir. Eğer $X=38 cm$ ise: Mavi kart için boşluk: $G_m = X - 20 = 38 - 20 = 18 cm$. Pembe kart için boşluk: $G_p = X - 10 = 38 - 10 = 28 cm$. Bu boşluklar geçerlidir ve $G_p = G_m + 10$ ilişkisini sağlar. Bu durumda $L=210 cm$ geçerli bir uzunluktur.
- B) $L = 245 cm$: $L-20 = 245-20 = 225$. $X$ değeri $225$'in bir böleni olmalı ve $X \ge 20$ olmalıdır. $225$'in $20$'den büyük en küçük böleni $25$'tir. Bu durumda $X=25 cm$ olabilir. Bu da geçerli bir uzunluktur ancak $210 cm$'den büyüktür.
- C) $L = 270 cm$: $L-20 = 270-20 = 250$. $X$ değeri $250$'nin bir böleni olmalı ve $X \ge 20$ olmalıdır. $250$'nin $20$'den büyük en küçük böleni $25$'tir. Bu durumda $X=25 cm$ olabilir. Bu da geçerli bir uzunluktur ancak $210 cm$'den büyüktür.
- D) $L = 305 cm$: $L-20 = 305-20 = 285$. $X$ değeri $285$'in bir böleni olmalı ve $X \ge 20$ olmalıdır. $285$'in $20$'den büyük en küçük böleni $57$'dir. Bu durumda $X=57 cm$ olabilir. Bu da geçerli bir uzunluktur ancak $210 cm$'den büyüktür.
- En küçük uzunluk sorulduğu için ve $210 cm$ tüm koşulları sağlayan en küçük seçenek olduğu için doğru cevap $210 cm$'dir.