Merhaba Sevgili 8. Sınıf Öğrencileri! 👋

Bugün matematik dersimizin önemli konularından biri olan "En Büyük Ortak Bölen (EBOB)" ve "En Küçük Ortak Kat (EKOK)" kavramlarını derinlemesine inceleyeceğiz. Bu konular, sadece sınavlarınız için değil, günlük hayatta karşılaştığınız birçok problemi çözmek için de temel oluşturur. Hazırsanız, sayıların gizemli dünyasına bir yolculuğa çıkalım! 🚀

Tam Sayıların Çarpanları (Bölenleri) ve Katları 🤔

EBOB ve EKOK'u anlamadan önce, çarpan (bölen) ve kat kavramlarını hatırlayalım:

• Çarpan (Bölen): Bir sayıyı kalansız bölebilen sayılara o sayının çarpanları veya bölenleri denir. Örneğin, 12 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir.
• Kat: Bir sayının kendisiyle veya başka bir sayma sayısı ile çarpılmasıyla elde edilen sayılara o sayının katları denir. Örneğin, 3 sayısının katları 3, 6, 9, 12, 15... şeklinde sonsuza kadar devam eder.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) Nedir? 🤔

İki veya daha fazla sayıyı aynı anda kalansız bölebilen en büyük pozitif tam sayıya bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) denir. Bazen OKEB (Ortak Katların En Büyüğü) olarak da adlandırılır. 🧐

EBOB Nasıl Bulunur? 📏

EBOB'u bulmanın en yaygın ve etkili yolu, sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır:

• Verilen sayıları yan yana yazıp, en küçük asal sayıdan başlayarak ortak bölenleri bulana kadar bölme algoritması (asal çarpan algoritması) uygularız.
• Her iki sayıyı da bölen asal çarpanları işaretleriz (genellikle bir yıldız (*) veya nokta ile).
• İşaretlediğimiz asal çarpanları çarparak EBOB'u buluruz.

Örnek: 18 ve 24 sayılarının EBOB'unu bulalım.

$$ \begin{array}{cc|c} 18 & 24 & 2^* \\ 9 & 12 & 2 \\ 9 & 6 & 2 \\ 9 & 3 & 3^* \\ 3 & 1 & 3 \\ 1 & & \end{array} $$

Hem 18'i hem de 24'ü bölen asal çarpanlar 2 ve 3'tür. Bu durumda:

EBOB(18, 24) = $2 \times 3 = 6$ ✅

EBOB ile İlgili Önemli Bilgiler ve Günlük Hayat Uygulamaları 💡

• EBOB, genellikle büyük parçaları eşit ve en büyük parçalara ayırma, gruplara ayırma, kare veya dikdörtgen şeklindeki alanları eş karelere bölme gibi problemlerde kullanılır.
• Kural: İki sayıdan biri diğerinin tam katı ise, küçük sayı EBOB'tur. Örneğin, EBOB(5, 15) = 5.
• Kural: Aralarında asal olan sayıların EBOB'u 1'dir. Örneğin, EBOB(7, 10) = 1.

Günlük Hayat Örneği: Bir terzi, 36 metre ve 48 metre uzunluğundaki iki top kumaşı, hiç artmayacak şekilde eşit ve en uzun parçalara ayırmak istiyor. Terzi, kumaşları kaç metrelik parçalara ayırmalıdır? 🤔 Bu bir EBOB problemidir! EBOB(36, 48) = 12 metre. Yani terzi, kumaşları 12 metrelik parçalara ayırmalıdır.

En Küçük Ortak Kat (EKOK) Nedir? 🌟

İki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçük pozitif tam sayıya bu sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK) denir. Bazen OKEK (Ortak Katların En Küçüğü) olarak da adlandırılır. 🤩

EKOK Nasıl Bulunur? 🚀

EKOK'u bulmanın en yaygın yolu da asal çarpanlara ayırmaktır:

• Verilen sayıları yan yana yazıp, en küçük asal sayıdan başlayarak tüm sayıları 1 olana kadar bölme algoritması uygularız.
• Algoritmada kullandığımız tüm asal çarpanları çarparak EKOK'u buluruz.

Örnek: 6 ve 8 sayılarının EKOK'unu bulalım.

$$ \begin{array}{cc|c} 6 & 8 & 2 \\ 3 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \\ 1 & & \end{array} $$

Algoritmada kullandığımız tüm asal çarpanlar 2, 2, 2 ve 3'tür. Bu durumda:

EKOK(6, 8) = $2 \times 2 \times 2 \times 3 = 24$ ✅

EKOK ile İlgili Önemli Bilgiler ve Günlük Hayat Uygulamaları 💡

• EKOK, genellikle farklı zamanlarda tekrar eden olayların ne zaman tekrar bir araya geleceğini bulma (otobüslerin aynı anda kalkması, nöbetleşe çalışanların tekrar aynı anda nöbet tutması), küçük parçalardan büyük bir bütün oluşturma (kare veya dikdörtgen fayanslarla daha büyük bir kare alan oluşturma) gibi problemlerde kullanılır.
• Kural: İki sayıdan biri diğerinin tam katı ise, büyük sayı EKOK'tur. Örneğin, EKOK(5, 15) = 15.
• Kural: Aralarında asal olan sayıların EKOK'u bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin, EKOK(7, 10) = $7 \times 10 = 70$.

Günlük Hayat Örneği: Ersan, elindeki pulları üçer üçer ve dörder dörder sayabiliyorsa, pul sayısı hem 3'ün hem de 4'ün bir katı olmalıdır. Bu durumda Ersan'ın pul sayısı EKOK(3, 4)'ün bir katı olmalıdır. EKOK(3, 4) = 12'dir. Yani Ersan'ın pul sayısı 12, 24, 36, ... gibi 12'nin katlarından biri olabilir. 🧩

EBOB ve EKOK Arasındaki İlişki 🤝

İki pozitif tam sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, o iki sayının çarpımına eşittir. Bu çok önemli bir kuraldır! 🌟

Kural: İki sayı A ve B olsun. Bu durumda:

$A \times B = \text{EBOB}(A, B) \times \text{EKOK}(A, B)$

Örnek: 6 ve 8 sayıları için EBOB(6, 8) = 2 ve EKOK(6, 8) = 24 bulmuştuk. Kontrol edelim:

$6 \times 8 = 48$

$2 \times 24 = 48$

Gördüğümüz gibi, eşitlik sağlanıyor! ✅

Özet ve İpuçları 💡

• EBOB problemleri genellikle "ayırma, bölme, gruplama, en büyük parça" gibi anahtar kelimelerle karşımıza çıkar. ✂️
• EKOK problemleri ise "birleşme, buluşma, karşılaşma, en küçük bütün, tekrar etme" gibi anahtar kelimelerle ipucu verir. 🗓️
• Sayıları asal çarpanlarına ayırma yöntemini iyi kavramak, hem EBOB hem de EKOK sorularını çözmede size büyük kolaylık sağlayacaktır.
• Aralarında asal sayıların EBOB'u 1, EKOK'u ise sayıların çarpımıdır.
• İki sayıdan biri diğerinin katı ise, küçük sayı EBOB, büyük sayı EKOK'tur.

Unutmayın, bol bol pratik yaparak bu konuları çok daha iyi pekiştirebilirsiniz. Başarılar dilerim! 💪