Sorunun Çözümü
- $80$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $80 = 2^4 \times 5^1$'dir.
- En az toplam (A) için:
- EKOK'ları $80$ olan farklı iki doğal sayının toplamının en az olması için, sayıların birbirine yakın ve asal çarpanlarının dengeli dağılmış olması gerekir.
- Sayılar $x$ ve $y$ olsun. $x = 2^{a_1} \cdot 5^{a_2}$ ve $y = 2^{b_1} \cdot 5^{b_2}$ şeklinde yazılabilir.
- $\max(a_1, b_1) = 4$ ve $\max(a_2, b_2) = 1$ olmalıdır.
- En küçük toplamı veren sayılar $x=5$ ($2^0 \cdot 5^1$) ve $y=16$ ($2^4 \cdot 5^0$)'dır.
- $EKOK(5, 16) = 80$'dir.
- Toplamları $A = 5 + 16 = 21$'dir.
- En çok toplam (B) için:
- EKOK'ları $80$ olan farklı iki doğal sayının toplamının en çok olması için, sayılardan biri EKOK değeri olan $80$ olmalıdır.
- Diğer sayı $y$ ise, $EKOK(80, y) = 80$ olması için $y$'nin $80$'in bir böleni olması gerekir.
- $x \neq y$ koşuluyla $y$'nin en büyük değerini alması için $80$'in kendisi dışındaki en büyük böleni seçilmelidir.
- $80$'in en büyük böleni $80$'dir, ondan sonraki en büyük böleni $40$'tır.
- Sayılar $x=80$ ve $y=40$ seçilir.
- $EKOK(80, 40) = 80$'dir.
- Toplamları $B = 80 + 40 = 120$'dir.
- Buna göre, $B - A = 120 - 21 = 99$'dur.
- Doğru Seçenek D'dır.