Sorunun Çözümü
- Verilen iki farklı doğal sayının en küçük ortak katı (EKOK) $150$'dir. Sayılar $a$ ve $b$ olsun, yani $EKOK(a, b) = 150$.
- $150$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali: $150 = 2 \times 3 \times 5^2$.
- $EKOK(a, b) = 2^1 \times 3^1 \times 5^2$ olması için, $a$ ve $b$ sayılarının asal çarpanlarındaki kuvvetler şu koşulları sağlamalıdır:
- $2$ asal çarpanı için: $\max(v_2(a), v_2(b)) = 1$
- $3$ asal çarpanı için: $\max(v_3(a), v_3(b)) = 1$
- $5$ asal çarpanı için: $\max(v_5(a), v_5(b)) = 2$
- $a+b$ toplamının en az olması için, $a$ ve $b$ sayıları birbirine yakın ve $150$'nin çarpanları olmalıdır. Ayrıca, asal çarpanların en yüksek kuvvetleri sayılar arasında dağıtılmalıdır.
- $5^2 = 25$ çarpanını bir sayıya verelim. Örneğin, $a = 25$. ($a = 5^2$)
- $EKOK(25, b) = 150$ olması için, $b$ sayısında $2^1$ ve $3^1$ çarpanları bulunmalıdır. $b$'yi en küçük yapmak için $b = 2^1 \times 3^1 = 6$ seçeriz.
- Bu durumda $a=25$ ve $b=6$ olur. Bu sayılar farklıdır.
- $EKOK(25, 6) = EKOK(5^2, 2 \times 3) = 2 \times 3 \times 5^2 = 150$. Koşul sağlanır.
- Bu iki sayının toplamı $a+b = 25 + 6 = 31$'dir.
- Diğer olası durumları kontrol edelim:
- Eğer sayılardan biri $150$ ise, diğeri $150$'nin bir böleni olmalıdır. En küçük toplam için diğer sayı $1$ seçilir. $150+1 = 151$.
- Eğer $a=75$ ($3 \times 5^2$) ise, $b$ sayısında $2^1$ olmalıdır. En küçük $b=2$ seçilir. $75+2 = 77$.
- Eğer $a=50$ ($2 \times 5^2$) ise, $b$ sayısında $3^1$ olmalıdır. En küçük $b=3$ seçilir. $50+3 = 53$.
- Bulunan en küçük toplam $31$'dir.
- Doğru Seçenek B'dır.