🎓 8. sınıf Ebob ve Ekok Test 7 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, 8. sınıf matematik müfredatının önemli konularından olan En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) kavramlarını derinlemesine anlamanıza yardımcı olmak için hazırlanmıştır. Testteki sorular, bu konuların temel hesaplamalarından, asal çarpanlara ayırma yöntemlerine, günlük hayat problemlerinden, sayıların özellikleri arasındaki ilişkilere kadar geniş bir yelpazeyi kapsamaktadır. Bu notlar, sınav öncesi son tekrarınız için kapsamlı bir rehber olacaktır. 🚀

1. Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma ✨

• Asal Sayı Nedir? Kendisinden ve 1'den başka hiçbir pozitif tam sayıya bölünemeyen, 1'den büyük doğal sayılardır. Örnek: 2, 3, 5, 7, 11, ...
• Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya denir. Bu işlem için genellikle çarpan ağacı veya bölen listesi (asal çarpan algoritması) yöntemleri kullanılır.
• Örnek: 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
  $72 \div 2 = 36$
  $36 \div 2 = 18$
  $18 \div 2 = 9$
  $9 \div 3 = 3$
  $3 \div 3 = 1$
  Yani, $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$

2. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) 🎯

• Tanımı: İki veya daha fazla sayının ortak bölenleri arasında en büyüğüne bu sayıların EBOB'u denir. Diğer adı OKEB (Ortak Katların En Büyüğü)'dir.
• Hesaplama Yöntemleri:
  • Bölen Listesi (Asal Çarpan Algoritması): Sayılar yan yana yazılır ve en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür. Her iki sayıyı da bölen asal çarpanlar işaretlenir. İşaretlenen asal çarpanların çarpımı EBOB'u verir.
  • Asal Çarpanlarına Ayrılmış Sayılarda: Sayılar asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra, ortak olan asal çarpanlardan üssü (kuvveti) küçük olanlar seçilerek çarpılır. Ortak olmayan asal çarpanlar EBOB'a dahil edilmez.
• Özellikleri:
  • EBOB, verilen sayılardan her zaman küçük veya sayılardan birine eşit olabilir. Asla sayılardan büyük olamaz.
  • Eğer sayılardan biri diğerinin tam katı ise, EBOB küçük sayıya eşittir. Örnek: EBOB(12, 36) = 12.
  • Kesirleri en sade hale getirmek için pay ve payda EBOB'larına bölünür.
• Uygulama Alanları (Problemler): Büyük bir bütünü eşit ve en büyük parçalara ayırma, tarlayı parsellere bölme, kumaşları eşit parçalara bölme, kapları doldurma gibi "büyükten küçüğe" gidişat olan problemlerde kullanılır. "En az parça", "en büyük ölçü" gibi ifadeler ipucu olabilir.
• Örnek: EBOB(12, 18) hesaplayalım.
  $12 = 2^2 \cdot 3^1$
  $18 = 2^1 \cdot 3^2$
  Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür. 2'nin küçük üssü $2^1$, 3'ün küçük üssü $3^1$.
  EBOB(12, 18) = $2^1 \cdot 3^1 = 6$

3. En Küçük Ortak Kat (EKOK) 🌳

• Tanımı: İki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçüğüne bu sayıların EKOK'u denir. Diğer adı OKEK (Ortak Katların En Küçüğü)'dir.
• Hesaplama Yöntemleri:
  • Bölen Listesi (Asal Çarpan Algoritması): Sayılar yan yana yazılır ve en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür. Tüm asal çarpanlar (işaretli veya işaretsiz) çarpılır.
  • Asal Çarpanlarına Ayrılmış Sayılarda: Sayılar asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra, tüm asal çarpanlardan (ortak olan veya olmayan) üssü (kuvveti) büyük olanlar seçilerek çarpılır.
• Özellikleri:
  • EKOK, verilen sayılardan her zaman büyük veya sayılardan birine eşit olabilir. Asla sayılardan küçük olamaz.
  • Eğer sayılardan biri diğerinin tam katı ise, EKOK büyük sayıya eşittir. Örnek: EKOK(12, 36) = 36.
  • Aralarında asal sayıların EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. (Aralarında asal sayılar: EBOB'u 1 olan sayılar).
• Uygulama Alanları (Problemler): Zillerin birlikte çalması, otobüslerin aynı anda kalkması, fayans döşeme, gemilerin aynı limana gelmesi gibi "küçükten büyüğe" gidişat olan problemlerde kullanılır. "En küçük ortak", "bir sonraki buluşma" gibi ifadeler ipucu olabilir.
• Örnek: EKOK(12, 18) hesaplayalım.
  $12 = 2^2 \cdot 3^1$
  $18 = 2^1 \cdot 3^2$
  Tüm asal çarpanlar 2 ve 3'tür. 2'nin büyük üssü $2^2$, 3'ün büyük üssü $3^2$.
  EKOK(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$

4. EBOB ve EKOK Arasındaki Önemli İlişki 🤝

• İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
  $A \cdot B = EBOB(A, B) \cdot EKOK(A, B)$
• Bu özellik, özellikle sayılardan biri diğerinin katı olduğunda veya bir bilgi eksik olduğunda çok işe yarar.
• Örnek: Sayılar 14 ve 70 olsun. 70, 14'ün 5 katıdır.
  EBOB(14, 70) = 14 (küçük sayı)
  EKOK(14, 70) = 70 (büyük sayı)
  $14 \cdot 70 = 980$
  $EBOB(14, 70) \cdot EKOK(14, 70) = 14 \cdot 70 = 980$. Gördüğünüz gibi eşitlik sağlanır.

5. Kritik Noktalar ve İpuçları 💡

• ⚠️ Dikkat: EBOB hesaplarken sadece ortak asal çarpanları alırken, EKOK hesaplarken tüm asal çarpanları almayı unutmayın.
• 💡 İpucu: Asal çarpanlarına ayrılmış şekilde verilen sayılarda EBOB ve EKOK bulmak, normal hesaplamadan daha hızlıdır. Bu yöntemi iyi kavrayın.
• ⚠️ Dikkat: Bir sayının EBOB'u, o sayının bölenlerinden biri olmak zorundadır. Bir sayının EKOK'u ise, o sayının katlarından biri olmak zorundadır.
• 💡 İpucu: Problemlerde "en büyük", "en fazla", "eşit parçalara ayırma", "bölüştürme" gibi anahtar kelimeler genellikle EBOB'u işaret eder.
• 💡 İpucu: Problemlerde "en küçük", "en az", "birleşme", "buluşma", "aynı anda olma", "eşitlenme" gibi anahtar kelimeler genellikle EKOK'u işaret eder.
• ⚠️ Dikkat: EKOK(A, B) = C ise, A ve B sayıları C'nin birer böleni olmalıdır. Bu durumda A'nın alabileceği en büyük değer C olabilir.
• 💡 İpucu: İki sayının EBOB'u 1 ise, bu sayılar aralarında asaldır. Aralarında asal sayıların EKOK'u ise çarpımlarına eşittir.
• ⚠️ Dikkat: Ortak bölen sayısı sorulduğunda, sayıların EBOB'unu bulup, EBOB'un kaç tane pozitif böleni olduğunu hesaplamalısınız. (Bölen sayısı bulma: Asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra üsleri 1 artırıp çarpma)
• 💡 İpucu: Şemalı veya farklı tanımlamalarla verilen sorularda, öncelikle tanımlanan işlemin ne anlama geldiğini dikkatlice anlayın ve adımları sırasıyla uygulayın.

Bu ders notları, EBOB ve EKOK konularındaki temel bilgilerinizi pekiştirmenize ve testteki çeşitli soru tiplerine karşı hazırlıklı olmanıza yardımcı olacaktır. Bol şans! 👍