Sorunun Çözümü
- İlk olarak, verilen tanımlara göre eşitliğin sol tarafını hesaplayalım: $48 \text{ -- } 36$.
- Bu ifade, 48 ve 36 sayılarını ortak bölen en büyük rakamı temsil eder.
- 48'in bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36'nın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
- Ortak bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu ortak bölenler içindeki rakamlar 1, 2, 3, 4, 6'dır.
- Bu rakamların en büyüğü 6'dır. Yani, $48 \text{ -- } 36 = 6$.
- Eşitlik şimdi $6 = 90 \text{ <--> } x$ şeklini alır.
- İkinci tanıma göre, $90 \text{ <--> } x$ ifadesi, 90 ve $x$ sayılarının pozitif ortak tam sayı bölenlerinin sayısını ifade eder.
- Bu durumda, 90 ve $x$ sayılarının pozitif ortak tam sayı bölenlerinin sayısı 6 olmalıdır.
- Bu, $GCD(90, x)$ sayısının 6 adet pozitif böleni olması gerektiği anlamına gelir.
- Şimdi seçenekleri kontrol edelim:
- A) $x = 72$: $GCD(90, 72) = GCD(2 \cdot 3^2 \cdot 5, 2^3 \cdot 3^2) = 2^1 \cdot 3^2 = 18$. 18'in bölen sayısı $(1+1)(2+1) = 2 \cdot 3 = 6$. Bu değer $x$ olabilir.
- B) $x = 60$: $GCD(90, 60) = GCD(2 \cdot 3^2 \cdot 5, 2^2 \cdot 3 \cdot 5) = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 30$. 30'un bölen sayısı $(1+1)(1+1)(1+1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Bu değer 6'ya eşit değildir, dolayısıyla $x$ olamaz.
- C) $x = 45$: $GCD(90, 45) = GCD(2 \cdot 3^2 \cdot 5, 3^2 \cdot 5) = 3^2 \cdot 5 = 45$. 45'in bölen sayısı $(2+1)(1+1) = 3 \cdot 2 = 6$. Bu değer $x$ olabilir.
- D) $x = 36$: $GCD(90, 36) = GCD(2 \cdot 3^2 \cdot 5, 2^2 \cdot 3^2) = 2^1 \cdot 3^2 = 18$. 18'in bölen sayısı $(1+1)(2+1) = 2 \cdot 3 = 6$. Bu değer $x$ olabilir.
- Sadece $x=60$ seçeneği, 90 ile ortak bölen sayısının 6 olmasını sağlamaz.
- Doğru Seçenek B'dır.