Sorunun Çözümü
- Tarık, bir sayının farklı asal çarpanlarının rakamlarını yan yana yazarak yeni bir sayı oluşturur. Bu yeni sayının rakam sayısı, kullanılan kart sayısını verir.
- Soruya göre, $\star$ sayısının farklı asal çarpanlarının rakamları toplam 4 kart kullanılarak yazılmıştır. Ayrıca $\star$ sayısı 3 basamaklı olmalı ve en az değeri almalıdır.
- Asal çarpanların rakamlarının toplamı 4 olacak şekilde farklı durumları inceleyelim:
- Dört adet 1 basamaklı asal çarpan: En küçük dört farklı 1 basamaklı asal çarpan $2, 3, 5, 7$'dir. Yan yana yazıldığında "2357" (4 kart). Bu durumda $\star = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$. Bu, 3 basamaklı bir sayıdır.
- İki adet 1 basamaklı ve bir adet 2 basamaklı asal çarpan: En küçük iki farklı 1 basamaklı asal çarpan $2, 3$'tür. En küçük 2 basamaklı asal çarpan $11$'dir. Bu çarpanların çarpımı $2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$'dır. Bu sayı 2 basamaklı olduğu için istenen koşulu sağlamaz. $\star$ sayısının 3 basamaklı olması için $2 \cdot 3 \cdot p_3 \ge 100$ olmalıdır. Buradan $6 p_3 \ge 100 \implies p_3 \ge 16.66...$ bulunur. $16.66$'dan büyük en küçük 2 basamaklı asal çarpan $17$'dir. Asal çarpanlar $2, 3, 17$. Yan yana yazıldığında "2317" (4 kart). Bu durumda $\star = 2 \cdot 3 \cdot 17 = 102$. Bu, 3 basamaklı bir sayıdır.
- Bir adet 1 basamaklı ve bir adet 3 basamaklı asal çarpan: En küçük 1 basamaklı asal çarpan $2$'dir. En küçük 3 basamaklı asal çarpan $101$'dir. Asal çarpanlar $2, 101$. Yan yana yazıldığında "2101" (4 kart). Bu durumda $\star = 2 \cdot 101 = 202$. Bu, 3 basamaklı bir sayıdır.
- İki adet 2 basamaklı asal çarpan: En küçük iki farklı 2 basamaklı asal çarpan $11, 13$'tür. Asal çarpanlar $11, 13$. Yan yana yazıldığında "1113" (4 kart). Bu durumda $\star = 11 \cdot 13 = 143$. Bu, 3 basamaklı bir sayıdır.
- Bulduğumuz 3 basamaklı $\star$ değerleri $210, 102, 202, 143$'tür. Bu değerler arasında en küçüğü $102$'dir.
- Doğru Seçenek B'dır.