Sorunun Çözümü
- Verilen eşitlik $2^A \cdot B \cdot C = 312$'dir. B ve C asal sayılardır.
- Öncelikle $312$ sayısının asal çarpanlarına ayrılması gerekir: $312 = 2 \cdot 156 = 2^2 \cdot 78 = 2^3 \cdot 39 = 2^3 \cdot 3 \cdot 13$.
- Eşitliği $2^A \cdot B \cdot C = 2^3 \cdot 3 \cdot 13$ olarak yazabiliriz.
- Buradan $A = 3$ olduğu kesindir. B ve C asal sayılar olduğundan, $\{B, C\}$ kümesi $\{3, 13\}$ olmalıdır.
- Yani, iki olası durum vardır:
- Durum 1: $A = 3, B = 3, C = 13$
- Durum 2: $A = 3, B = 13, C = 3$
- Şimdi seçenekleri kontrol edelim:
- A) $A + B = 6$:
- Durum 1 için: $3 + 3 = 6$. (Doğru)
- Bu seçenek kesinlikle yanlış değildir.
- B) $B - C = 10$:
- Durum 1 için: $3 - 13 = -10$. (Yanlış)
- Durum 2 için: $13 - 3 = 10$. (Doğru)
- Bu seçenek kesinlikle yanlış değildir.
- C) $A + C = 16$:
- Durum 1 için: $3 + 13 = 16$. (Doğru)
- Durum 2 için: $3 + 3 = 6$. (Yanlış)
- Bu seçenek kesinlikle yanlış değildir.
- D) $A + B + C = 20$:
- Durum 1 için: $3 + 3 + 13 = 19$. (Yanlış)
- Durum 2 için: $3 + 13 + 3 = 19$. (Yanlış)
- Her iki durumda da toplam $19$ olduğundan, $A + B + C = 20$ ifadesi kesinlikle yanlıştır.
- Doğru Seçenek D'dır.