Sorunun Çözümü
- Verilen işlem $250 \cdot \text{A}$ şeklindedir. Burada $\text{A}$ iki basamaklı bir sayıdır.
- Öncelikle $250$ sayısının asal çarpanlarını bulalım: $250 = 2 \cdot 125 = 2 \cdot 5^3$.
- $250 \cdot \text{A}$ işleminin sonucunun farklı asal çarpanlarının toplamı $14$ olarak verilmiştir.
- $250$'nin farklı asal çarpanları $2$ ve $5$'tir. Bu asal çarpanların toplamı $2 + 5 = 7$'dir.
- Toplamın $14$ olması için, $\text{A}$ sayısının $2$ ve $5$'ten farklı ve toplamı $14 - 7 = 7$ olan yeni bir asal çarpan içermesi gerekir.
- $2$ ve $5$'ten farklı olup toplamı $7$ olan tek asal sayı $7$'dir.
- Bu durumda, $\text{A}$ sayısının asal çarpanları sadece $2, 5$ ve $7$ olabilir ve $7$ asal çarpanı kesinlikle bulunmalıdır. Yani $\text{A}$ sayısı $2^x \cdot 5^y \cdot 7^z$ formunda olmalıdır, burada $z \ge 1$.
- $\text{A}$ sayısının en fazla kaç olabileceğini bulmak için, iki basamaklı en büyük değeri arıyoruz ($10 \le \text{A} \le 99$).
- Olası $\text{A}$ değerlerini inceleyelim:
- Eğer $z=1$ ise, $\text{A} = 7 \cdot 2^x \cdot 5^y$.
- $y=0$: $\text{A} = 7 \cdot 2^x$.
- $x=1 \implies \text{A} = 14$
- $x=2 \implies \text{A} = 28$
- $x=3 \implies \text{A} = 56$
- $x=4 \implies \text{A} = 112$ (üç basamaklı)
- $y=1$: $\text{A} = 7 \cdot 5 \cdot 2^x = 35 \cdot 2^x$.
- $x=0 \implies \text{A} = 35$
- $x=1 \implies \text{A} = 70$
- $x=2 \implies \text{A} = 140$ (üç basamaklı)
- $y=0$: $\text{A} = 7 \cdot 2^x$.
- Eğer $z=2$ ise, $\text{A} = 7^2 \cdot 2^x \cdot 5^y = 49 \cdot 2^x \cdot 5^y$.
- $y=0$: $\text{A} = 49 \cdot 2^x$.
- $x=0 \implies \text{A} = 49$
- $x=1 \implies \text{A} = 98$
- $x=2 \implies \text{A} = 196$ (üç basamaklı)
- $y=1$: $\text{A} = 49 \cdot 5 \cdot 2^x = 245 \cdot 2^x$ (üç basamaklı)
- $y=0$: $\text{A} = 49 \cdot 2^x$.
- Eğer $z=1$ ise, $\text{A} = 7 \cdot 2^x \cdot 5^y$.
- Bulduğumuz iki basamaklı $\text{A}$ değerleri $14, 28, 56, 35, 70, 49, 98$'dir. Bu değerler arasında en büyüğü $98$'dir.
- Doğru Seçenek D'dır.