Sorunun Çözümü
- Dört farklı pozitif tam sayı $a, b, c, d$ olsun ve $a < b < c < d$ sıralamasını sağlasın.
- En küçük iki sayının çarpımı $a \cdot b = 16$'dır. $a < b$ koşulunu sağlayan farklı pozitif tam sayı çiftleri $(1, 16)$ ve $(2, 8)$'dir. ($4 \times 4$ olamaz çünkü sayılar farklı olmalıdır).
- En büyük iki sayının çarpımı $c \cdot d = 144$'tür. $c < d$ koşulunu sağlayan farklı pozitif tam sayı çiftleri $(1, 144), (2, 72), (3, 48), (4, 36), (6, 24), (8, 18), (9, 16)$'dır. ($12 \times 12$ olamaz çünkü sayılar farklı olmalıdır).
- Şimdi $a < b < c < d$ koşulunu sağlayan sayıları bulalım:
- Eğer $(a, b) = (1, 16)$ ise, $b=16$'dır. Bu durumda $c > 16$ olmalıdır. Ancak $c \cdot d = 144$ olan çiftlerde $c$ değeri en fazla $9$ olabilir ($9 \times 16$). Bu nedenle $c > 16$ koşulunu sağlayan bir $c$ değeri bulunamaz. Dolayısıyla $(1, 16)$ çifti uygun değildir.
- Eğer $(a, b) = (2, 8)$ ise, $b=8$'dir. Bu durumda $c > 8$ olmalıdır. $c \cdot d = 144$ olan çiftlerden $c > 8$ koşulunu sağlayanlara bakalım:
- $(c, d) = (9, 16)$ çifti uygundur. Çünkü $c=9 > b=8$ ve $d=16$. Sayılar $2, 8, 9, 16$ olup hepsi farklı ve $2 < 8 < 9 < 16$ koşulunu sağlarlar.
- $(c, d) = (8, 18)$ çifti uygun değildir. Çünkü $c=8$ olursa $b=c=8$ olur, ancak sayılar farklı olmalıdır ($b < c$).
- Bulunan dört farklı pozitif tam sayı $2, 8, 9, 16$'dır.
- Bu sayıların toplamı $2 + 8 + 9 + 16 = 35$'tir.
- Doğru Seçenek B'dır.