Sorunun Çözümü
- Bir yarışmacının bir kapıdan geçebilmesi için, kapı üzerindeki sayının yarışmacının numarasının bir çarpanı olması gerekir. Yani, yarışmacı numarası kapı numarasına tam bölünmelidir.
- Ödül Odası'na ulaşmak için izlenebilecek tüm olası yolları ve bu yollar üzerindeki kapı numaralarını belirleyelim. Bir yol üzerindeki tüm kapı numaralarına bölünebilen bir yarışmacı o yolu kullanabilir.
- Yol 1: Giriş $\to$ Kapı 2 $\to$ Kapı 3 $\to$ Kapı 2 $\to$ Kapı 8 $\to$ Ödül Odası. Bu yol için yarışmacı numarası $2, 3, 8$ sayılarına tam bölünmelidir. Bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) $EKOK(2, 3, 8) = 24$'tür.
- Yol 2: Giriş $\to$ Kapı 2 $\to$ Kapı 14 $\to$ Kapı 10 $\to$ Kapı 8 $\to$ Ödül Odası. Bu yol için yarışmacı numarası $2, 14, 10, 8$ sayılarına tam bölünmelidir. Bu sayıların EKOK'u $EKOK(2, 14, 10, 8) = 280$'dir.
- Yol 3: Giriş $\to$ Kapı 15 $\to$ Kapı 3 $\to$ Kapı 14 $\to$ Kapı 10 $\to$ Kapı 8 $\to$ Ödül Odası. Bu yol için yarışmacı numarası $15, 3, 14, 10, 8$ sayılarına tam bölünmelidir. Bu sayıların EKOK'u $EKOK(15, 3, 14, 10, 8) = 840$'tır.
- Yol 4: Giriş $\to$ Kapı 15 $\to$ Kapı 2 $\to$ Kapı 8 $\to$ Ödül Odası. Bu yol için yarışmacı numarası $15, 2, 8$ sayılarına tam bölünmelidir. Bu sayıların EKOK'u $EKOK(15, 2, 8) = 120$'dir.
- Şimdi her bir yarışmacının numarasının bu yollardan herhangi birini kullanıp kullanamayacağını kontrol edelim:
- A) Yarışmacı 40:
- Yol 1 (EKOK 24): $40$ sayısı $24$'e bölünmez.
- Yol 2 (EKOK 280): $40$ sayısı $280$'e bölünmez.
- Yol 3 (EKOK 840): $40$ sayısı $840$'a bölünmez.
- Yol 4 (EKOK 120): $40$ sayısı $120$'ye bölünmez.
- B) Yarışmacı 48:
- Yol 1 (EKOK 24): $48$ sayısı $24$'e tam bölünür ($48 \div 24 = 2$). Bu yolu kullanabilir.
- C) Yarışmacı 60:
- Yarışmacı 60, yukarıdaki yollardan en az birini kullanarak ödül odasına ulaşabilir.
- D) Yarışmacı 80:
- Yarışmacı 80, yukarıdaki yollardan en az birini kullanarak ödül odasına ulaşabilir.
- Sadece yarışmacı 40'ın ödül odasına ulaşmak için geçerli bir yol bulamadığı görülmektedir.
- Doğru Seçenek A'dır.