🎓 8. Sınıf Pozitif Tam Sayıların Pozitif Tam Sayı Çarpanları Test 6 - Ders Notu ve İpuçları

Sevgili öğrenciler, bu ders notu, "Pozitif Tam Sayıların Pozitif Tam Sayı Çarpanları" ünitesini pekiştirmeniz ve bu konudaki test sorularına daha hazırlıklı olmanız için özel olarak hazırlandı. Bu notta, çarpanlar ve bölenler, asal sayılar, asal çarpanlara ayırma, çarpan sayısını bulma, ortak asal çarpanlar ve bu kavramların problem çözümlerindeki uygulamaları gibi temel konuları detaylı bir şekilde ele alacağız. Sınavda karşınıza çıkabilecek tüm soru tiplerine yönelik önemli bilgiler ve pratik ipuçları bulacaksınız.

1. Pozitif Tam Sayı Çarpanları (Bölenleri)

• Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölebilen her pozitif tam sayıya o sayının çarpanı veya böleni denir.
• Her doğal sayının en küçük pozitif çarpanı 1, en büyük pozitif çarpanı ise kendisidir.
• Çarpanları bulmak için sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazabiliriz. Örneğin, 12'nin çarpanları: 1x12, 2x6, 3x4. Yani 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir.

⚠️ Dikkat: "Çarpan" ve "bölen" kelimeleri aynı anlama gelir. Bu kavramları karıştırmamaya özen gösterin!

2. Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar

• Asal Sayı: 1'den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan doğal sayılara asal sayı denir.
• En küçük asal sayı 2'dir ve 2, tek çift asal sayıdır. Diğer tüm asal sayılar tektir.
• İlk birkaç asal sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
• Asal Çarpan: Bir sayının çarpanları arasında asal olan sayılara o sayının asal çarpanları denir.

💡 İpucu: Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için asal çarpan algoritmasını (bölen listesi) kullanmak en pratik yöntemdir.

3. Bir Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma

• Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlarına ayırma denir.
• Bu işlem için genellikle "çarpan ağacı" veya "asal çarpan algoritması (bölen listesi)" yöntemleri kullanılır.
• Asal Çarpan Algoritması: Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak sırayla asal sayılara böleriz. Bölümler 1 olana kadar devam ederiz. Sağ tarafta elde ettiğimiz asal sayılar, sayının asal çarpanlarıdır.
• Örnek: 60 sayısını asal çarpanlarına ayırma:
  60 | 2
  30 | 2
  15 | 3
  5 | 5
  1 |
  Yani 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3¹ x 5¹ dir.

⚠️ Dikkat: Asal çarpanlara ayırırken sadece asal sayılara böldüğünüzden emin olun! Asal olmayan bir sayıya bölerseniz yanlış sonuç elde edersiniz.

4. Pozitif Tam Sayı Çarpan Sayısını Bulma

• Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali a^x . b^y . c^z ... şeklinde ise, bu sayının pozitif tam sayı çarpanlarının sayısı, üslerin birer fazlasının çarpımına eşittir: (x+1) . (y+1) . (z+1) ...
• Örnek: 60 = 2² x 3¹ x 5¹ sayısının çarpan sayısı (2+1) . (1+1) . (1+1) = 3 . 2 . 2 = 12'dir.
• 💡 İpucu: Pozitif tam sayı çarpan sayısı 2 olan sayılar, asal sayılardır. Çünkü asal sayıların sadece 1 ve kendisi olmak üzere iki çarpanı vardır. (Örn: 7 = 7¹, çarpan sayısı (1+1)=2).

5. Ortak Asal Çarpanlar ve Aralarında Asal Sayılar

• İki veya daha fazla sayının asal çarpanları arasında ortak olanlara ortak asal çarpan denir.
• Aralarında Asal Sayılar: 1'den başka ortak pozitif tam böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. Bu sayıların ortak asal çarpanı yoktur.
• Örnek: 8 (asal çarpanları sadece 2) ve 15 (asal çarpanları 3 ve 5) sayılarının ortak asal çarpanı yoktur. Bu yüzden 8 ve 15 aralarında asaldır.

⚠️ Dikkat: Aralarında asal olmak için sayıların kendilerinin asal olması gerekmez. Örneğin, 8 ve 9 sayıları aralarında asaldır ancak ikisi de asal değildir.

6. Mükemmel Sayılar

• Kendisi hariç pozitif tam bölenlerinin toplamı kendisine eşit olan sayılara mükemmel sayı denir.
• Örnek: 6 sayısının pozitif bölenleri 1, 2, 3, 6'dır. Kendisi hariç bölenleri 1, 2, 3'tür. Toplamları 1+2+3 = 6'dır. Bu yüzden 6 bir mükemmel sayıdır.
• Bir diğer mükemmel sayı 28'dir. (Bölenleri: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Kendisi hariç toplam: 1+2+4+7+14 = 28).

7. Problem Çözme İpuçları

• Soru Kökünü İyi Anla: "En az", "en çok", "kaç farklı değer", "olabilir", "olamaz" gibi ifadelere özellikle dikkat edin. Bu kelimeler sorunun çözüm stratejisini belirleyebilir.
• Sayıları Asal Çarpanlarına Ayır: Birçok çarpan ve bölen sorusunun anahtarı, verilen sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır. Bu, sayının yapısını anlamanıza yardımcı olur.
• Tüm Çarpanları Listele: Özellikle küçük sayılar için veya belirli bir koşula uyan çarpanları bulmak için tüm çarpanları sistematik bir şekilde listelemek hata yapma olasılığınızı azaltır.
• Mantık Yürüt: Bazı sorular doğrudan formül gerektirmeyebilir, sayıların özelliklerini ve verilen ek koşulları kullanarak mantık yürütmeniz gerekebilir. (Örn: Geometrik şekillerle ilişkilendirilmiş alan sorularında kenar uzunluklarının çarpan olması gibi).
• Şıkları Değerlendir: Özellikle "hangisi olabilir/olamaz" türündeki sorularda, şıkları tek tek kontrol etmek ve eleme yöntemi kullanmak zaman kazandırabilir ve doğru cevaba ulaşmanızı sağlayabilir.

Unutmayın, düzenli tekrar ve bol soru çözümü bu konudaki başarınızı artıracaktır. Her bir konuyu iyice anladığınızdan emin olun ve farklı soru tipleriyle pratik yapmaktan çekinmeyin. Başarılar dilerim!