Soruyu çözmek için, asal çarpanları sadece 3 ve 5 olan iki basamaklı en büyük doğal sayıyı bulmalıyız.

• Bir sayının asal çarpanları sadece 3 ve 5 ise, bu sayı \(3^a \cdot 5^b\) şeklinde olmalıdır, burada \(a \ge 1\) ve \(b \ge 1\) tam sayılardır.
• Sayının iki basamaklı olması gerektiği için, 10 ile 99 arasında olmalıdır.

En büyük iki basamaklı sayıyı bulmak için, 3 ve 5'in kuvvetlerini artırarak 99'a en yakın olanı denemeliyiz:

• 5'in kuvvetlerini deneyelim:
  • Eğer \(b=1\) ise, sayı \(3^a \cdot 5^1 = 5 \cdot 3^a\) şeklinde olur:
    • \(a=1 \Rightarrow 5 \cdot 3 = 15\)
    • \(a=2 \Rightarrow 5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45\)
    • \(a=3 \Rightarrow 5 \cdot 3^3 = 5 \cdot 27 = 135\). Bu sayı üç basamaklı olduğu için uygun değildir.
    Bu durumda en büyük iki basamaklı sayı 45'tir.
  • Eğer \(b=2\) ise, sayı \(3^a \cdot 5^2 = 25 \cdot 3^a\) şeklinde olur:
    • \(a=1 \Rightarrow 25 \cdot 3 = 75\). Bu sayı iki basamaklıdır ve asal çarpanları sadece 3 ve 5'tir.
    • \(a=2 \Rightarrow 25 \cdot 3^2 = 25 \cdot 9 = 225\). Bu sayı üç basamaklı olduğu için uygun değildir.
    Bu durumda en büyük iki basamaklı sayı 75'tir.
  • Eğer \(b=3\) ise, sayı \(3^a \cdot 5^3 = 125 \cdot 3^a\) şeklinde olur. En küçük \(a=1\) değeri için bile \(125 \cdot 3 = 375\) olur ki bu sayı üç basamaklıdır ve çok büyüktür.

Yukarıdaki denemeler sonucunda, asal çarpanları sadece 3 ve 5 olan iki basamaklı sayılar arasında bulduğumuz en büyük değerler 45 ve 75'tir. Bu iki sayıdan en büyüğü 75'tir.

Cevap C seçeneğidir.