Verilen bilgiye göre, iki basamaklı pozitif bir tam sayının asal çarpanları küçükten büyüğe doğru A, B, 7 olarak yazılmıştır. Bu, A, B ve 7'nin sayının tüm farklı asal çarpanları olduğu ve \(A < B < 7\) koşulunu sağladığı anlamına gelir.

• Asal Çarpanları Belirleme:

  7'den küçük asal sayılar 2, 3 ve 5'tir. A ve B bu asal sayılar arasından seçilmelidir ve \(A < B\) olmalıdır.

  Olası (A, B) çiftleri şunlardır:

  • (A=2, B=3)
  • (A=2, B=5)
  • (A=3, B=5)
• Her Durum İçin En Büyük İki Basamaklı Sayıyı Bulma:

  Şimdi her bir (A, B) çifti için, asal çarpanları A, B ve 7 olan en büyük iki basamaklı sayıyı bulalım:

  • Durum 1: A=2, B=3

    Asal çarpanlar: {2, 3, 7}. Sayı \(2^x \cdot 3^y \cdot 7^z\) şeklinde olmalıdır (\(x, y, z \ge 1\)).

    • \(2 \cdot 3 \cdot 7 = 42\) (İki basamaklı)
    • En büyük iki basamaklı sayıyı bulmak için küçük asal çarpanların kuvvetlerini artırabiliriz:
    • \(2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84\) (İki basamaklı)
    • \(2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126\) (Üç basamaklı, geçersiz)

    Bu durumda en büyük iki basamaklı sayı 84'tür.

  • Durum 2: A=2, B=5

    Asal çarpanlar: {2, 5, 7}. Sayı \(2^x \cdot 5^y \cdot 7^z\) şeklinde olmalıdır (\(x, y, z \ge 1\)).

    • \(2 \cdot 5 \cdot 7 = 70\) (İki basamaklı)
    • En büyük iki basamaklı sayıyı bulmak için küçük asal çarpanların kuvvetlerini artırabiliriz:
    • \(2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140\) (Üç basamaklı, geçersiz)

    Bu durumda en büyük iki basamaklı sayı 70'tir.

  • Durum 3: A=3, B=5

    Asal çarpanlar: {3, 5, 7}. Sayı \(3^x \cdot 5^y \cdot 7^z\) şeklinde olmalıdır (\(x, y, z \ge 1\)).

    • \(3 \cdot 5 \cdot 7 = 105\) (Üç basamaklı, geçersiz)

    Bu durumda iki basamaklı bir sayı elde edilemez.

• Sonucu Karşılaştırma:

  Bulduğumuz en büyük iki basamaklı sayılar 84 ve 70'tir. Bu iki sayıdan en büyüğü 84'tür.

Cevap B seçeneğidir.