Bu soruyu çözmek için, kabın dolma sürecini iki aşamada inceleyip, her aşamada musluklardan gelen suyun kütlesini ve sıcaklığını belirlememiz gerekiyor. Sonrasında, karışımın denge sıcaklığı formülünü uygulayacağız.

• 1. Aşama: Kabın yarısı dolana kadar (X ve Y muslukları açık)

Muslukların debileri eşit olduğundan, belirli bir süre içinde her musluktan aynı miktarda su akar. Kabın yarısı dolduğunda, bu yarının yarısı X musluğundan, diğer yarısı ise Y musluğundan gelmiştir.

• Kabın toplam hacmine \(V\) diyelim. İlk aşamada \(V/2\) hacim dolar.
• X musluğundan gelen suyun kütlesi: \(m_X = m\) (sıcaklık \(T_X = 30^\circ C\))
• Y musluğundan gelen suyun kütlesi: \(m_Y = m\) (sıcaklık \(T_Y = 50^\circ C\))
• Bu durumda, kabın yarısı \(2m\) kütleli su ile dolmuştur.
• 2. Aşama: Kabın kalan yarısı dolana kadar (Sadece Y musluğu açık)

X musluğu kapatıldıktan sonra, kabın kalan yarısı sadece Y musluğundan gelen su ile dolar. Kabın kalan yarısı da \(V/2\) hacimdir, yani \(2m\) kütleli su demektir.

• Y musluğundan gelen suyun kütlesi: \(m'_Y = 2m\) (sıcaklık \(T_Y = 50^\circ C\))
• Toplam Kütleler ve Sıcaklıklar

Kap tamamen dolduğunda, içerideki toplam su kütlelerini ve sıcaklıklarını belirleyelim:

• Toplam X musluğundan gelen su kütlesi: \(M_X = m\) (sıcaklık \(T_X = 30^\circ C\))
• Toplam Y musluğundan gelen su kütlesi: \(M_Y = m + 2m = 3m\) (sıcaklık \(T_Y = 50^\circ C\))
• Kabın toplam su kütlesi: \(M_{toplam} = M_X + M_Y = m + 3m = 4m\)
• Karışımın Denge Sıcaklığı Hesabı

Karışımın denge sıcaklığı (\(T_{denge}\)), kütlelerin ve sıcaklıkların ağırlıklı ortalaması alınarak bulunur. Suyun özgül ısısı (\(c\)) sabit olduğu için formülde sadeleşecektir:

\(T_{denge} = \frac{(M_X \cdot T_X) + (M_Y \cdot T_Y)}{M_X + M_Y}\)

Değerleri yerine koyalım:

\(T_{denge} = \frac{(m \cdot 30^\circ C) + (3m \cdot 50^\circ C)}{m + 3m}\)

\(T_{denge} = \frac{30m + 150m}{4m}\)

\(T_{denge} = \frac{180m}{4m}\)

\(T_{denge} = 45^\circ C\)

Buna göre, kap dolunca oluşan karışımın denge sıcaklığı 45°C olur.

Cevap E seçeneğidir.