Sorunun Çözümü
- İki tepsinin de aynı boyutta olması, toplam alanlarının eşit olduğu anlamına gelir.
- Sol tepsinin toplam genişliği $2^a + 2^a = 2 \cdot 2^a = 2^{a+1}$'dir. Yüksekliği ise $6 \cdot 3^b$'dir. Toplam alanı $A_L = 2^{a+1} \cdot 6 \cdot 3^b$'dir.
- Sağ tepsinin toplam genişliği $2^a + 2^a = 2 \cdot 2^a = 2^{a+1}$'dir. Yüksekliği ise $6 \cdot 9^c$'dir. Toplam alanı $A_R = 2^{a+1} \cdot 6 \cdot 9^c$'dir.
- Tepsilerin aynı boyutta olmasından dolayı $A_L = A_R$ olmalıdır. Bu durumda $2^{a+1} \cdot 6 \cdot 3^b = 2^{a+1} \cdot 6 \cdot 9^c \implies 3^b = 9^c \implies 3^b = (3^2)^c \implies 3^b = 3^{2c} \implies b = 2c$ ilişkisi elde edilir.
- "a, b ve c birer sayma sayısıdır" ifadesinden $a, b, c \ge 1$ olduğunu biliyoruz.
- "Soldaki tepside bulunan börek dilimlerinin sayısı sağdakinin 3 katıdır" ifadesi, görseldeki dilim sayılarına bakıldığında (her iki tepside de $2 \times 6 = 12$ dilim vardır) $12 = 3 \times 12$ yani $12 = 36$ gibi yanlış bir ifadeye yol açar. Bu nedenle, bu ifadenin problemde verilen bir bilgi olarak değil, seçenekleri değerlendirirken göz önünde bulundurulması gereken bir önerme olarak ele alınması daha mantıklıdır. Temel ilişki $b=2c$'dir.
- Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) Soldaki tepsideki börek dilimleri $3 \times 4$ br$^2$ boyutlarında ise sağdaki $9 \times 4$ br$^2$ olmalıdır.
Eğer sol dilim $3 \times 4$ ise $2^a = 4$ ve $3^b = 3$ demektir. Buradan $a=2$ ve $b=1$ bulunur.
$b=2c$ ilişkisine göre $1 = 2c \implies c = 1/2$ olur. Ancak $c$ bir sayma sayısı olmalıdır ($c \ge 1$).
Bu durumda öncül ($2^a=4, 3^b=3$) problem koşulları altında imkansızdır. İmkansız bir öncüle sahip bir koşullu ifade (ise bağlacı) mantıksal olarak doğrudur. - B) c çift sayı olabilir.
$c$ bir sayma sayısıdır ($c \ge 1$). Eğer $c=2$ (çift sayı) olursa, $b=2c \implies b=2(2)=4$ olur. $b=4$ de bir sayma sayısıdır.
Dolayısıyla $c$ çift sayı olabilir. Bu ifade doğrudur. - C) a çift sayı olamaz.
$b=2c$ ilişkisi $a$ üzerinde herhangi bir kısıtlama getirmez. $a$ bir sayma sayısıdır ($a \ge 1$).
$a$ sayısı $1, 2, 3, ...$ değerlerini alabilir. Örneğin $a=2$ (çift sayı) olabilir.
Bu nedenle "a çift sayı olamaz" ifadesi yanlıştır. - D) a'nın değeri ne olursa olsun iki tepsideki börek sayılarının oranı değişmez.
Sol tepsideki dilim sayısı $2 \times 6 = 12$'dir. Sağ tepsideki dilim sayısı da $2 \times 6 = 12$'dir.
İki tepsideki dilim sayılarının oranı $12/12 = 1$'dir. Bu oran $a$'nın değerine bağlı değildir ve sabittir.
Bu ifade doğrudur. - Doğru Seçenek C'dır.