Sorunun Çözümü
- Yolun 1, 2 ve 3. bölümlerinin uzunlukları sırasıyla $2^a$, $2^b$ ve $2^c$'dir.
- Verilen koşullar: $a$ asal sayı, $c > b > a$ ve $2^a + 2^b + 2^c < 400$ m.
- İstenen, 2. bölüm ile 1. bölüm arasındaki farkın en fazla kaç m olduğu, yani $2^b - 2^a$ ifadesinin maksimum değeridir.
- Bu farkı en büyük yapmak için $a$ en küçük asal sayı, $b$ ise mümkün olan en büyük değer olmalıdır.
- $a=2$ (en küçük asal sayı) için:
- $2^2 + 2^b + 2^c < 400 \Rightarrow 4 + 2^b + 2^c < 400 \Rightarrow 2^b + 2^c < 396$.
- $c > b > a \Rightarrow c > b > 2$ koşulunu sağlamalıyız.
- $b$'yi mümkün olduğunca büyük seçelim. Eğer $b=7$ olursa:
- $2^7 + 2^c < 396 \Rightarrow 128 + 2^c < 396 \Rightarrow 2^c < 268$.
- Bu durumda $c$ için en büyük tam sayı değeri $8$ olur ($2^8 = 256$).
- $(a,b,c) = (2,7,8)$ değerleri koşulları sağlar: $2$ asal, $8 > 7 > 2$ ve $2^2 + 2^7 + 2^8 = 4 + 128 + 256 = 388 < 400$.
- Bu durumda fark: $2^b - 2^a = 2^7 - 2^2 = 128 - 4 = 124$.
- Eğer $b=8$ olsaydı, $c > 8$ olmalıydı. $2^8 + 2^c < 396 \Rightarrow 256 + 2^c < 396 \Rightarrow 2^c < 140$. Buradan $c=7$ olurdu ($2^7 = 128$), ancak $c > b$ koşulu ($7 > 8$) sağlanmazdı. Dolayısıyla $b$ en fazla $7$ olabilir.
- $a=3$ (sıradaki asal sayı) için:
- $2^3 + 2^b + 2^c < 400 \Rightarrow 8 + 2^b + 2^c < 400 \Rightarrow 2^b + 2^c < 392$.
- $c > b > a \Rightarrow c > b > 3$ koşulunu sağlamalıyız.
- $b$'yi mümkün olduğunca büyük seçelim. Eğer $b=7$ olursa:
- $2^7 + 2^c < 392 \Rightarrow 128 + 2^c < 392 \Rightarrow 2^c < 264$.
- Bu durumda $c$ için en büyük tam sayı değeri $8$ olur ($2^8 = 256$).
- $(a,b,c) = (3,7,8)$ değerleri koşulları sağlar: $3$ asal, $8 > 7 > 3$ ve $2^3 + 2^7 + 2^8 = 8 + 128 + 256 = 392 < 400$.
- Bu durumda fark: $2^b - 2^a = 2^7 - 2^3 = 128 - 8 = 120$.
- Eğer $b=8$ olsaydı, $c > 8$ olmalıydı. $2^8 + 2^c < 392 \Rightarrow 256 + 2^c < 392 \Rightarrow 2^c < 136$. Buradan $c=7$ olurdu, ancak $c > b$ koşulu sağlanmazdı.
- $a=5$ veya daha büyük asal sayılar için $2^a$ değeri daha büyük olacağından, $2^b + 2^c$ için kalan değer küçülür ve $c > b > a$ koşulunu sağlayan uygun $b, c$ değerleri bulunamaz veya bulunan farklar daha küçük olur. (Örneğin $a=5$ için en büyük fark $32$ bulunur).
- Bulunan en büyük fark değerleri $124$ ($a=2$ için) ve $120$ ($a=3$ için) karşılaştırıldığında, en büyük değer $124$'tür.
- Doğru Seçenek C'dır.