Sorunun Çözümü
- Kırmızı çubuğun uzunluğu, cetveldeki $2^d$ ve $2^b$ noktaları arasındaki farktır: $2^d - 2^b$.
- Soruda kırmızı çubuğun uzunluğu $96 cm$ olarak verilmiştir. Bu durumda $2^d - 2^b = 96$ olur.
- Denklemi $2^b(2^{d-b} - 1) = 96$ şeklinde yazabiliriz.
- $96$ sayısının asal çarpanları $2^5 \times 3$'tür. Yani $2^b(2^{d-b} - 1) = 2^5 \times 3$.
- Bu eşitlikten $2^b = 2^5 \Rightarrow b = 5$ ve $2^{d-b} - 1 = 3 \Rightarrow 2^{d-5} = 4 \Rightarrow 2^{d-5} = 2^2 \Rightarrow d-5 = 2 \Rightarrow d = 7$ bulunur.
- Cetveldeki noktaların sırası $2^a < 2^b < 2^c < 2^d < 2^e$ olduğundan, üsler için $a < b < c < d < e$ eşitsizliği geçerlidir.
- $a, b, c, d, e$ pozitif tam sayılar olduğundan ve $b=5$, $d=7$ bulduğumuzdan, $a < 5 < c < 7 < e$ olmalıdır.
- Mavi çubuğun uzunluğunun en az olması için $c$ ve $e$ değerlerini minimum seçmeliyiz.
- $5 < c < 7$ koşulunu sağlayan tek tam sayı $c = 6$'dır.
- $7 < e$ koşulunu sağlayan en küçük tam sayı $e = 8$'dir.
- Mavi çubuğun uzunluğu $2^e - 2^c$ olduğundan, $2^8 - 2^6$ olarak hesaplanır.
- $2^8 - 2^6 = 2^6(2^2 - 1) = 64(4 - 1) = 64 \times 3 = 192 cm$.
- Doğru Seçenek A'dır.