Sorunun Çözümü
- Verilen sayıyı asal çarpanlarına ayıralım: $ = 3^{x+1} \cdot 42 \cdot 5^{y-4} = 3^{x+1} \cdot (2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot 5^{y-4} = 2^1 \cdot 3^{x+2} \cdot 5^{y-4} \cdot 7^1$
- Sayının asal çarpan sayısı $\triangle = 3$ olarak verilmiştir. Yukarıdaki ifadede $2, 3, 5, 7$ olmak üzere $4$ farklı asal çarpan adayı vardır. Asal çarpan sayısının $3$ olması için, bu çarpanlardan birinin üssü $0$ olmalıdır. $2^1$ ve $7^1$ üsleri $1$ olduğundan, $3^{x+2}$ veya $5^{y-4}$ üslerinden biri $0$ olmalıdır.
- Durum 1: $x+2=0 \implies x=-2$. Bu durumda sayı $2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^{y-4} \cdot 7^1 = 2^1 \cdot 5^{y-4} \cdot 7^1$ olur. Asal çarpanlar $2, 5, 7$ yani $3$ tanedir. Pozitif bölen sayısı $\square = 32$ olarak verilmiştir. Bu durumda $(1+1) \cdot ((y-4)+1) \cdot (1+1) = 32$ denklemini çözelim. $2 \cdot (y-3) \cdot 2 = 32 \implies 4(y-3) = 32 \implies y-3 = 8 \implies y = 11$. Bu durumda $x \cdot y = (-2) \cdot 11 = -22$. (Ayrıca $y-4 = 11-4 = 7 > 0$ koşulu sağlanır.)
- Durum 2: $y-4=0 \implies y=4$. Bu durumda sayı $2^1 \cdot 3^{x+2} \cdot 5^0 \cdot 7^1 = 2^1 \cdot 3^{x+2} \cdot 7^1$ olur. Asal çarpanlar $2, 3, 7$ yani $3$ tanedir. Pozitif bölen sayısı $\square = 32$ olarak verilmiştir. Bu durumda $(1+1) \cdot ((x+2)+1) \cdot (1+1) = 32$ denklemini çözelim. $2 \cdot (x+3) \cdot 2 = 32 \implies 4(x+3) = 32 \implies x+3 = 8 \implies x = 5$. Bu durumda $x \cdot y = 5 \cdot 4 = 20$. (Ayrıca $x+2 = 5+2 = 7 > 0$ koşulu sağlanır.)
- $x \cdot y$ için bulunan değerler $-22$ ve $20$'dir. Bu değerler arasındaki en küçük değer $-22$'dir.
- Doğru Seçenek D'dır.