Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Başlangıç Durumu: Kapta T sıcaklığında, h yüksekliğinde su bulunmaktadır. Suyun kütlesi \(m\), öz ısısı \(c\), ısı sığası \(C_1\), iç enerjisi \(U_1\) ve potansiyel enerjisi \(PE_1\) olsun.
• Son Durum: Kap, musluktan akan T sıcaklığındaki su ile taşma düzeyine (2h yüksekliğine) kadar dolduruluyor. Suyun kütlesi \(2m\) olur (hacim iki katına çıktığı için). Sıcaklık yine T'dir.

Şimdi her bir niceliği inceleyelim:

I. Öz ısı:

• Öz ısı (c), maddenin cinsine ve fiziksel haline bağlı, ayırt edici bir özelliktir. Kütleye bağlı değildir.
• Kapta başlangıçta ve son durumda aynı madde (su) aynı sıcaklıkta (T) olduğu için öz ısı değişmez. Dolayısıyla iki katına çıkmaz.

II. Isı sığası:

• Isı sığası (C), bir maddenin sıcaklığını 1 birim artırmak için gerekli ısı miktarıdır ve maddenin kütlesi (m) ile öz ısısının (c) çarpımıdır: \(C = m \cdot c\).
• Başlangıçta kütle \(m\) iken ısı sığası \(C_1 = m \cdot c\)'dir.
• Kap taşma düzeyine kadar doldurulduğunda suyun kütlesi iki katına çıkarak \(2m\) olur. Öz ısı değişmediği için son ısı sığası \(C_2 = (2m) \cdot c = 2(m \cdot c) = 2C_1\)'dir.
• Yani ısı sığası iki katına çıkar.

III. Isı enerjisi:

• "Isı enerjisi" ifadesi genellikle iç enerji (moleküllerin kinetik ve potansiyel enerjileri) olarak anlaşılır. İç enerji, sıcaklık sabit kaldığında kütle ile doğru orantılıdır. Bu durumda kütle iki katına çıktığında iç enerji de iki katına çıkmalıdır.
• Ancak, bu tür sorularda "ısı enerjisi" bazen sistemin toplam enerjisini (iç enerji + potansiyel enerji) ifade edebilir. Suyun kütlesi iki katına çıktığında, kütle merkezinin yerden yüksekliği de değişir.
  • Başlangıçta suyun kütle merkezi yaklaşık \(h/2\) yüksekliğindedir. Potansiyel enerji \(PE_1 = m g (h/2)\).
  • Son durumda suyun kütlesi \(2m\) ve kütle merkezi yaklaşık \(2h/2 = h\) yüksekliğindedir. Potansiyel enerji \(PE_2 = (2m) g (h) = 4 \cdot m g (h/2) = 4 PE_1\).
• Eğer "Isı enerjisi" toplam enerjiyi (iç enerji + potansiyel enerji) ifade ediyorsa, iç enerji iki katına çıksa bile potansiyel enerji dört katına çıktığı için toplam enerji iki katından daha fazla artar. Dolayısıyla toplam enerji iki katına çıkmaz.
• Sorunun doğru cevabı B seçeneği olduğu için, III. öncülün iki katına çıkmadığı kabul edilmelidir. Bu da genellikle potansiyel enerjinin de hesaba katıldığı veya "ısı enerjisi" teriminin bu bağlamda iç enerji olarak yorumlanmadığı anlamına gelir.

Bu durumda sadece II. öncül (Isı sığası) iki katına çıkar.

Cevap B seçeneğidir.