Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Verilen Bilgiler ve Temel Varsayımlar:
  • Sıvının yoğunluğu: \(d_{sıvı} = 2d\)
  • Y küpünün yoğunluğu: \(d_Y = 2d\)
  • X, Y, Z küpleri birbirine yapışık değildir.
  • Sistem dengededir.
  • Küplerin hacimleri eşit ve \(V\) olsun (küp oldukları için bu varsayım mantıklıdır).
• 2. Toplam Denge Koşulu:

  Tüm küpler (X, Y, Z) sıvı içinde askıda kaldığı için, toplam kaldırma kuvveti toplam ağırlığa eşit olmalıdır:

  \(F_{kaldırma, toplam} = G_{toplam}\)

  \(d_{sıvı} \cdot (V_X + V_Y + V_Z) \cdot g = (d_X V_X + d_Y V_Y + d_Z V_Z) \cdot g\)

  Hacimler eşit (\(V\)) olduğu için:

  \(d_{sıvı} \cdot 3V \cdot g = (d_X V + d_Y V + d_Z V) \cdot g\)

  \(3 d_{sıvı} = d_X + d_Y + d_Z\)

  Verilen yoğunlukları yerine koyarsak:

  \(3 \cdot (2d) = d_X + 2d + d_Z\)

  \(6d = d_X + 2d + d_Z\)

  \(d_X + d_Z = 4d\) (Koşul 1)

• 3. Bireysel Küplerin Denge Koşulları ("Yapışık Olmama" Durumu):

  Küpler birbirine yapışık olmadığı için, üstteki küp alttakine batmaya çalışmalı (veya en azından yüzmeye çalışmamalı), alttaki küp ise üsttekini batırmamaya çalışmalı (veya en azından batmaya çalışmamalıdır).

  • X küpü için (en üstteki): X, Y'nin üzerinde durmaktadır. Eğer \(d_X < d_{sıvı}\) olsaydı, X yüzmeye çalışır ve Y'den ayrılırdı. Bu nedenle, X'in Y üzerinde kalabilmesi için yoğunluğunun sıvı yoğunluğuna eşit veya daha büyük olması gerekir.

    \(d_X \ge d_{sıvı} \Rightarrow d_X \ge 2d\) (Koşul 2)

  • Z küpü için (en alttaki): Z, Y'yi (ve dolayısıyla X'i) taşımaktadır. Eğer \(d_Z > d_{sıvı}\) olsaydı, Z batmaya çalışır ve Y'den ayrılırdı. Bu nedenle, Z'nin Y'yi taşıyabilmesi için yoğunluğunun sıvı yoğunluğuna eşit veya daha küçük olması gerekir.

    \(d_Z \le d_{sıvı} \Rightarrow d_Z \le 2d\) (Koşul 3)

• 4. Seçeneklerin Kontrolü:

  Şimdi seçenekleri bu üç koşula göre değerlendirelim:

  • A) \(d_X = d\), \(d_Z = 3d\)
    • Koşul 1: \(d_X + d_Z = d + 3d = 4d\). (Sağlanır)
    • Koşul 2: \(d_X = d\). \(d \ge 2d\) koşulu sağlanmaz (\(d < 2d\)). X yüzmeye çalışır.
    • Koşul 3: \(d_Z = 3d\). \(3d \le 2d\) koşulu sağlanmaz (\(3d > 2d\)). Z batmaya çalışır.

    Bu durumda, X küpü yüzmeye çalışacağı için Y'nin üzerinde duramaz, Z küpü ise batmaya çalışacağı için Y'yi taşıyamaz. Dolayısıyla bu durum olamaz.

  • B) \(d_X = 3d\), \(d_Z = d\)
    • Koşul 1: \(d_X + d_Z = 3d + d = 4d\). (Sağlanır)
    • Koşul 2: \(d_X = 3d\). \(3d \ge 2d\) koşulu sağlanır.
    • Koşul 3: \(d_Z = d\). \(d \le 2d\) koşulu sağlanır.

    Bu seçenek mümkündür.

  • C) \(d_X = 4d\), \(d_Z = d\)
    • Koşul 1: \(d_X + d_Z = 4d + d = 5d \neq 4d\). (Sağlanmaz)

    Bu seçenek olamaz.

  • D) \(d_X = 2.5d\), \(d_Z = 1.5d\)
    • Koşul 1: \(d_X + d_Z = 2.5d + 1.5d = 4d\). (Sağlanır)
    • Koşul 2: \(d_X = 2.5d\). \(2.5d \ge 2d\) koşulu sağlanır.
    • Koşul 3: \(d_Z = 1.5d\). \(1.5d \le 2d\) koşulu sağlanır.

    Bu seçenek mümkündür.

  • E) \(d_X = 2.5d\), \(d_Z = d\)
    • Koşul 1: \(d_X + d_Z = 2.5d + d = 3.5d \neq 4d\). (Sağlanmaz)

    Bu seçenek olamaz.

Seçenek A, hem X'in yüzme eğilimi hem de Z'nin batma eğilimi nedeniyle, küplerin birbirine yapışık olmaması koşulu altında bu şekilde dengede kalamaz. Diğer olamaz seçenekler (C ve E) ise daha temel olan toplam denge koşulunu sağlamamaktadır.

Cevap A seçeneğidir.