Bu soruyu Arşimet Prensibi'ni kullanarak adım adım çözelim. Yüzen bir cisim için kaldırma kuvveti, cismin ağırlığına eşittir. Kaldırma kuvveti ise batan hacimdeki sıvının ağırlığına eşittir.
- Adım 1: Şekil-I'deki durumu analiz edelim.
Boş kabın ağırlığı \(G_{kap}\) ve batan hacmi \(V_1 = A \cdot h\)'dir (burada \(A\) kabın kesit alanı). Suyun yoğunluğu \(\rho_{su}\) olsun.
\(G_{kap} = F_{k1}\)
\(G_{kap} = V_1 \cdot \rho_{su} \cdot g = A \cdot h \cdot \rho_{su} \cdot g\) (Denklem 1)
- Adım 2: Şekil-II'deki durumu analiz edelim.
Kaba 2 özdeş cisim (\(m_{cisim}\) kütleli) atıldığında toplam ağırlık \(G_{kap} + 2m_{cisim}g\) olur ve batan hacim \(V_2 = A \cdot 2h\)'dir.
\(G_{kap} + 2m_{cisim}g = F_{k2}\)
\(G_{kap} + 2m_{cisim}g = V_2 \cdot \rho_{su} \cdot g = A \cdot 2h \cdot \rho_{su} \cdot g\) (Denklem 2)
Denklem 1'i Denklem 2'de yerine koyalım:
\(A \cdot h \cdot \rho_{su} \cdot g + 2m_{cisim}g = A \cdot 2h \cdot \rho_{su} \cdot g\)
\(2m_{cisim}g = A \cdot 2h \cdot \rho_{su} \cdot g - A \cdot h \cdot \rho_{su} \cdot g\)
\(2m_{cisim}g = A \cdot h \cdot \rho_{su} \cdot g\)
\(2m_{cisim} = A \cdot h \cdot \rho_{su}\) (Denklem 3)
- Adım 3: Kaba 4 tane daha (toplam 6) özdeş cisim atıldığında durumu analiz edelim.
Toplamda kapta 2 + 4 = 6 özdeş cisim olacaktır. Yeni batan derinlik \(H\) olsun.
Toplam ağırlık \(G_{kap} + 6m_{cisim}g\) olur ve batan hacim \(V_3 = A \cdot H\)'dir.
\(G_{kap} + 6m_{cisim}g = F_{k3}\)
\(G_{kap} + 6m_{cisim}g = A \cdot H \cdot \rho_{su} \cdot g\) (Denklem 4)
Denklem 1 ve Denklem 3'ü Denklem 4'te yerine koyalım:
\(A \cdot h \cdot \rho_{su} \cdot g + 3 \cdot (2m_{cisim}g) = A \cdot H \cdot \rho_{su} \cdot g\)
\(A \cdot h \cdot \rho_{su} \cdot g + 3 \cdot (A \cdot h \cdot \rho_{su} \cdot g) = A \cdot H \cdot \rho_{su} \cdot g\)
\(4 \cdot A \cdot h \cdot \rho_{su} \cdot g = A \cdot H \cdot \rho_{su} \cdot g\)
Her iki tarafı \(A \cdot \rho_{su} \cdot g\) ile bölersek:
\(4h = H\)
Buna göre, kaba 4 tane daha özdeş cisim atılırsa kap suya 4h kadar batar.
Cevap B seçeneğidir.