Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Bilgiyi Anlama: Katı bir cisim, birbirinden farklı X ve Y sıvılarına bırakıldığında cisme etki eden kaldırma kuvveti ($F_k$) her iki durumda da aynı oluyor. Yani, $F_{k,X} = F_{k,Y}$.
• 2. Kaldırma Kuvveti Formülü: Kaldırma kuvveti $F_k = V_{batan} \cdot d_{sıvı} \cdot g$ formülü ile hesaplanır. Burada $V_{batan}$ batan hacim, $d_{sıvı}$ sıvının özkütlesi ve $g$ yerçekimi ivmesidir.
• 3. Olası Senaryoların Analizi:
  • A) Cisim her iki sıvıda da dibe batarsa: Bu durumda cismin tüm hacmi batar ($V_{batan,X} = V_c$ ve $V_{batan,Y} = V_c$). $F_{k,X} = V_c \cdot d_X \cdot g$ ve $F_{k,Y} = V_c \cdot d_Y \cdot g$. $F_{k,X} = F_{k,Y}$ olduğundan, $V_c \cdot d_X \cdot g = V_c \cdot d_Y \cdot g \implies d_X = d_Y$. Ancak soruda X ve Y sıvılarının "birbirinden farklı" olduğu belirtilmiştir ($d_X \ne d_Y$). Bu nedenle bu senaryo mümkün değildir.
  • B) Cisim bir sıvıda batar (örn. X), diğerinde yüzer veya askıda kalır (Y): Eğer cisim X sıvısında batarsa ($d_c > d_X$), $F_{k,X} = V_c \cdot d_X \cdot g$. Eğer cisim Y sıvısında yüzer veya askıda kalırsa ($d_c \le d_Y$), kaldırma kuvveti cismin ağırlığına eşittir: $F_{k,Y} = G_c = V_c \cdot d_c \cdot g$. $F_{k,X} = F_{k,Y}$ olduğundan, $V_c \cdot d_X \cdot g = V_c \cdot d_c \cdot g \implies d_X = d_c$. Bu sonuç, cismin X sıvısında battığı varsayımıyla ($d_c > d_X$) çelişir. Eğer $d_X = d_c$ ise cisim X sıvısında askıda kalır, batmaz. Bu nedenle bu senaryo (birinde batıp diğerinde yüzme/askıda kalma) mümkün değildir.
  • C) Cisim her iki sıvıda da yüzer veya askıda kalır: Bu durumda, cismin her iki sıvıda da kaldırma kuvveti kendi ağırlığına eşittir ($F_{k,X} = G_c$ ve $F_{k,Y} = G_c$). Cismin ağırlığı sabit olduğundan, $F_{k,X} = F_{k,Y}$ eşitliği kendiliğinden sağlanır. Bu durumun gerçekleşmesi için cismin özkütlesi her iki sıvının özkütlesinden küçük veya eşit olmalıdır ($d_c \le d_X$ ve $d_c \le d_Y$). Bu, tek mümkün senaryodur.
• 4. Yargıların Değerlendirilmesi: Cismin her iki sıvıda da yüzdüğü veya askıda kaldığı tek mümkün senaryoyu kullanarak yargıları inceleyelim:
  • I. X cisminin özkütlesi, Y cisminin özkütlesinden büyüktür. ($d_X > d_Y$) Bu durum mümkün müdür? Evet. Örneğin, cismin özkütlesi $d_c = 0.5 \text{ g/cm}^3$ olsun. X sıvısının özkütlesi $d_X = 1.0 \text{ g/cm}^3$ ve Y sıvısının özkütlesi $d_Y = 0.8 \text{ g/cm}^3$ olabilir. Bu durumda $d_X > d_Y$ olur ve $d_c < d_X$, $d_c < d_Y$ olduğu için cisim her iki sıvıda da yüzer ve kaldırma kuvvetleri cismin ağırlığına eşit olur. Bu yargı doğru olabilir.
  • II. Cisim Y sıvısında askıda kalır, X sıvısında ise dibe batar. Bu yargı, cismin X sıvısında battığını belirtir. Ancak 3. adımda, cismin kaldırma kuvvetleri eşitken herhangi bir sıvıda batmasının mümkün olmadığını belirledik. Bu yargı doğru olamaz.
  • III. Cisim X sıvısında dibe batar, Y sıvısında ise yüzer. Bu yargı da cismin X sıvısında battığını belirtir. Yine 3. adımda, cismin kaldırma kuvvetleri eşitken herhangi bir sıvıda batmasının mümkün olmadığını belirledik. Bu yargı doğru olamaz.

Sonuç olarak, yalnızca I. yargı doğru olabilir.

Cevap A seçeneğidir.