Sorunun Çözümü
- Verilen vektörlerin bileşenlerini belirleyelim:
- $\vec{K} = (2,0)$
- $\vec{L} = (-1,1)$
- $\vec{M} = (0,1)$
- Bu üç vektörün bileşkesini ($ \vec{R}_{KLM} $) hesaplayalım:
- $\vec{R}_{KLM} = \vec{K} + \vec{L} + \vec{M} = (2-1+0, 0+1+1) = (1,2)$
- 'd' doğrusunun denklemini bulalım. 'd' doğrusu orijinden ve $(1,1)$ noktasından geçtiği için denklemi $y=x$ veya $x-y=0$'dır.
- Uygulanacak $\vec{X}$ vektörünün minimum büyüklükte olması için, $\vec{R}_{KLM}$ vektörünün bitiş noktası olan $(1,2)$ noktasından 'd' doğrusuna olan dik uzaklık kadar olmalıdır.
- Bir $(x_0, y_0)$ noktasının $Ax+By+C=0$ doğrusuna olan uzaklık formülü $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$'dir.
- Burada $(x_0, y_0) = (1,2)$ ve 'd' doğrusu $x-y=0$ olduğu için $A=1$, $B=-1$, $C=0$'dır.
- Minimum büyüklüğü hesaplayalım:
- $|\vec{X}| = \frac{|1(1) + (-1)(2) + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 - 2|}{\sqrt{1+1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
- Sonucu sadeleştirelim:
- $|\vec{X}| = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- Doğru Seçenek A'dır.