Sorunun Çözümü
Çözüm adımları aşağıda listelenmiştir:
- Verilen bilgilere göre, $|AD| = 6 cm$, $|AE| = 6 cm$, $|DB| = 8 cm$ ve $|EC| = 4 cm$'dir.
- Bu uzunluklardan $|AB| = |AD| + |DB| = 6 + 8 = 14 cm$ ve $|AC| = |AE| + |EC| = 6 + 4 = 10 cm$ bulunur.
- $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACD})$ olduğu verilmiştir ve $\widehat{C}$ açısı hem $\triangle ABC$ hem de $\triangle DAC$ için ortak açıdır. Bu durumda, Açı-Açı (AA) benzerlik teoremine göre $\triangle ABC \sim \triangle DAC$'dir.
- Benzerlik oranlarını yazarsak: $\frac{|AB|}{|DA|} = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|DC|}$.
- Bilinen uzunlukları yerine koyarsak: $\frac{14}{6} = \frac{10}{|DC|}$.
- Bu orandan $|DC|$ uzunluğunu buluruz: $14 \cdot |DC| = 6 \cdot 10 \implies 14 \cdot |DC| = 60 \implies |DC| = \frac{60}{14} = \frac{30}{7} cm$.
- Benzerlikten dolayı $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{ADC})$'dir. Bu açıya $\theta$ diyelim.
- $\triangle ADE$ üçgeninde $|AD| = |AE| = 6 cm$ olduğu için bu bir ikizkenar üçgendir.
- $\widehat{DAE}$ açısı, $\widehat{BAC}$ açısı ile aynıdır, yani $m(\widehat{DAE}) = \theta$'dır.
- İkizkenar $\triangle ADE$'de kosinüs teoremini uygulayarak $|DE|$ uzunluğunu bulabiliriz: $|DE|^2 = |AD|^2 + |AE|^2 - 2|AD||AE|\cos(\widehat{DAE})$.
- $x^2 = 6^2 + 6^2 - 2(6)(6)\cos(\theta) \implies x^2 = 36 + 36 - 72\cos(\theta) \implies x^2 = 72 - 72\cos(\theta)$.
- Şimdi $\cos(\theta)$ değerini bulmak için $\triangle DAC$ üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalım. $|DA|=6$, $|AC|=10$, $|DC|=\frac{30}{7}$ ve $m(\widehat{ADC}) = \theta$'dır.
- $|AC|^2 = |DA|^2 + |DC|^2 - 2|DA||DC|\cos(\widehat{ADC})$.
- $10^2 = 6^2 + (\frac{30}{7})^2 - 2(6)(\frac{30}{7})\cos(\theta)$.
- $100 = 36 + \frac{900}{49} - \frac{360}{7}\cos(\theta)$.
- $64 - \frac{900}{49} = -\frac{360}{7}\cos(\theta)$.
- $\frac{64 \cdot 49 -