Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, $\triangle ABC$ dik üçgeninde $\angle BAC = 90^\circ$ ve $\triangle DEF$ dik üçgeninde $\angle DEF = 90^\circ$.
- $[AE] \perp [BF]$ olduğu için, kesişim noktası H'de $\angle AHD = 90^\circ$ ve $\angle EHC = 90^\circ$'dir.
- B, D, H, C, F noktaları BF doğrusu üzerinde sıralı olarak bulunmaktadır.
- $\triangle ABC$ dik üçgeninde A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen dikme AH'dir (çünkü $AH \perp BF$ ve BC, BF doğrusu üzerindedir). Öklid Teoremi'ne göre, $|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|$'dir.
- $\triangle DEF$ dik üçgeninde E köşesinden hipotenüs DF'ye indirilen dikme EH'dir (çünkü $EH \perp BF$ ve DF, BF doğrusu üzerindedir). Öklid Teoremi'ne göre, $|EH|^2 = |DH| \cdot |HF|$'dir.
- Soruda $|AH| = |EH|$ verildiği için, $|BH| \cdot |HC| = |DH| \cdot |HF|$ eşitliği geçerlidir.
- Verilen $|DH| = 1 cm$ ve $|HC| = 4 cm$ değerlerini yerine yazarsak: $|BH| \cdot 4 = 1 \cdot |HF| \implies 4|BH| = |HF|$ elde ederiz.
- Noktaların sıralamasından dolayı, $|BH| = |BD| + |DH|$ ve $|HF| = |HC| + |CF|$ yazabiliriz.
- Bu ifadeleri ve verilen uzunlukları yerine koyarsak:
- $|BH| = |BD| + 1$
- $|HF| = 4 + |CF|$
- $4|BH| = |HF|$ eşitliğinde bu yeni ifadeleri yerine yazalım: $4(|BD| + 1) = 4 + |CF|$.
- Denklemi düzenlersek: $4|BD| + 4 = 4 + |CF|$.
- Buradan $4|BD| = |CF|$ sonucuna ulaşırız.
- İstenen oran $|BD|/|CF|$'dir. Eşitliği $|CF|$'ye bölersek: $4 \frac{|BD|}{|CF|} = 1$.
- Sonuç olarak, $\frac{|BD|}{|CF|} = \frac{1}{4}$ bulunur.
- Doğru Seçenek B'dır.