Sorunun Çözümü
- Öncelikle, $ED \perp DC$ ve $DC \perp BC$ verildiğinden, EBCD bir dik yamuktur ve $\triangle EDC$ bir dik üçgendir.
- $\triangle EDC$ dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanarak $|EC|$ uzunluğunu bulalım: $|EC|^2 = |ED|^2 + |DC|^2$ $|EC|^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ $|EC| = \sqrt{100} = 10 cm$
- Şekle göre A, E, C noktaları doğrusaldır. BC doğrusuna E noktasından bir dikme indirelim ve bu noktaya K diyelim. Bu durumda $EK \perp BC$ olur. EBCD bir dik yamuk olduğundan, $|EK| = |DC| = 6 cm$ ve $|KC| = |ED| = 8 cm$ olur. Böylece $\triangle EKC$ bir dik üçgendir.
- A noktasından BC doğrusuna bir dikme indirelim ve bu noktaya H diyelim. A, E, C noktaları doğrusal olduğundan, $\triangle AHC$ ve $\triangle EKC$ benzer üçgenlerdir (açı-açı benzerliği). Benzerlik oranından: $\frac{|AH|}{|EK|} = \frac{|HC|}{|KC|} \Rightarrow \frac{|AH|}{6} = \frac{|HC|}{8}$ Buradan $|AH| = \frac{3}{4}|HC|$ elde edilir.
- $\triangle AHB$ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım. $|AB| = 10 cm$ ve $|HB| = |BC| - |HC| = 10 - |HC|$'dir. $|AB|^2 = |AH|^2 + |HB|^2$ $10^2 = \left(\frac{3}{4}|HC|\right)^2 + (10 - |HC|)^2$ $100 = \frac{9}{16}|HC|^2 + 100 - 20|HC| + |HC|^2$ $0 = \frac{9}{16}|HC|^2 - 20|HC| + |HC|^2$ $0 = \left(\frac{9}{16} + 1\right)|HC|^2 - 20|HC|$ $0 = \frac{25}{16}|HC|^2 - 20|HC|$ $|HC|\left(\frac{25}{16}|HC| - 20\right) = 0$ $|HC| \neq 0$ olduğundan (A noktası C değildir), $\frac{25}{16}|HC| = 20$ olmalıdır. $|HC| = 20 \times \frac{16}{25} = \frac{4 \times 16}{5} = \frac{64}{5} cm$.
- Şimdi $|AC|$ uzunluğunu bulalım. $\triangle AHC$ dik üçgeninde: $|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2$ $|AH| = \frac{3}{4}|HC| = \frac{3}{4} \times \frac{64}{5} = \frac{48}{5} cm$. $|AC|^2 = \left(\frac{48}{5}\right)^2 + \left(\frac{64}{5}\right)^2 = \frac{2304}{25} + \frac{4096}{25} = \frac{6400}{25} = 256$ $|AC| = \sqrt{256} = 16 cm$.
- A, E, C noktaları doğrusal olduğundan ve şekle göre E noktası A ile C arasındadır: $|AC| = |AE| + |EC|$ $16 = x + 10$ $x = 16 - 10 = 6 cm$.
- Doğru Seçenek C'dır.