Sorunun Çözümü
- G noktası ağırlık merkezi olduğundan, kenarortayları 2:1 oranında böler.
- CD kenarortaydır. $|GC| = 10 cm$ verildiğine göre, $|DG| = |GC| / 2 = 10 / 2 = 5 cm$ olur.
- Böylece CD kenarortayının uzunluğu $|CD| = |CG| + |GD| = 10 + 5 = 15 cm$ bulunur.
- AE kenarortaydır. $|EG| = 5 cm$ verildiğine göre, $|AG| = 2 \times |EG| = 2 \times 5 = 10 cm$ olur.
- Böylece AE kenarortayının uzunluğu $|AE| = |AG| + |GE| = 10 + 5 = 15 cm$ bulunur.
- E noktası BC kenarının orta noktasıdır. $|EC| = 12 cm$ verildiğine göre, $|BE| = 12 cm$ ve $|BC| = |BE| + |EC| = 12 + 12 = 24 cm$ olur.
- D noktası AB kenarının orta noktasıdır. $|BD| = x$ olduğundan, $|AD| = x$ ve $|AB| = 2x$ olur.
- Kenarortay uzunluk formülünü ($m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$) veya Apollonius Teoremini kullanalım.
- AE kenarortayı için: $|AB|^2 + |AC|^2 = 2(|AE|^2 + |BE|^2)$ yazılır.
- $(2x)^2 + |AC|^2 = 2(15^2 + 12^2)$
- $4x^2 + |AC|^2 = 2(225 + 144) = 2(369) = 738$ (Denklem 1)
- CD kenarortayı için: $|BC|^2 + |AC|^2 = 2(|CD|^2 + |BD|^2)$ yazılır.
- $24^2 + |AC|^2 = 2(15^2 + x^2)$
- $576 + |AC|^2 = 2(225 + x^2) = 450 + 2x^2$
- $|AC|^2 = 2x^2 - 126$ (Denklem 2)
- Denklem 2'yi Denklem 1'de yerine koyalım: $4x^2 + (2x^2 - 126) = 738$
- $6x^2 - 126 = 738$
- $6x^2 = 738 + 126 = 864$
- $x^2 = 864 / 6 = 144$
- $x = \sqrt{144} = 12 cm$ bulunur.
- Doğru Seçenek D'dır.