Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, `$AB \perp BC$` olduğundan `$\angle ABC = 90^\circ$`, `$BD \perp DC$` olduğundan `$\angle BDC = 90^\circ$` ve `$AH \perp BD$` olduğundan `$\angle AHB = 90^\circ$`dir.
- `$\angle ABH = \alpha$` diyelim. `$\triangle ABH$` dik üçgeninde `$\angle BAH = 90^\circ - \alpha$` olur.
- `$\angle ABC = 90^\circ$` olduğundan, `$\angle DBC = \angle ABC - \angle ABH = 90^\circ - \alpha$` olur.
- `$\triangle BDC$` dik üçgeninde, `$\angle BCD = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$` olur.
- Şimdi `$\triangle ABH$` ve `$\triangle BCD$` üçgenlerinin açılarını karşılaştıralım:
- `$\angle AHB = \angle BDC = 90^\circ$`
- `$\angle ABH = \angle BCD = \alpha$`
- `$\angle BAH = \angle DBC = 90^\circ - \alpha$`
- Benzerlik oranını yazarsak: `$|AH| / |BD| = |AB| / |BC| = |BH| / |CD|$`.
- Soruda `$|AB| = |BC|$` verildiğinden, benzerlik oranı `$|AB| / |BC| = 1$` olur. Bu, `$\triangle ABH$` ve `$\triangle BCD$` üçgenlerinin eş olduğu anlamına gelir (`$\triangle ABH \cong \triangle BCD$`).
- Üçgenler eş olduğundan, karşılıklı kenar uzunlukları eşittir: `$|AH| = |BD|$`.
- Soruda `$|BD| = 12 cm$` verildiğinden, `$|AH| = 12 cm$` bulunur.
- Doğru Seçenek E'dır.