Sorunun Çözümü
Çözüm Adımları:
- 1. Katlama Analizi (AD boyunca): B köşesi C köşesiyle çakıştığı için, $AD$ doğrusu $BC$ kenarının dik orta dikmesidir. Bu durumda, $D$ noktası $BC$'nin orta noktasıdır ($|BD| = |DC|$). Ayrıca, $AD \perp BC$ ve $ABC$ üçgeni ikizkenar bir üçgendir ($|AB| = |AC|$).
- 2. Katlama Analizi (BE boyunca): C köşesi $AB$ üzerindeki $N$ noktasıyla çakıştığı için, $BE$ doğrusu $CN$ kenarının dik orta dikmesidir. Bu durumda, $|BC| = |BN|$ ve $|EC| = |EN|$ olur. Soruda $|EC| = 12$ birim verildiği için, $|EN| = 12$ birimdir.
- 3. Menelaus Teoremi Uygulaması: $\triangle ADC$ üçgeni ve $B-K-E$ kesen doğrusu için Menelaus Teoremi'ni uygulayalım. Kesen doğru $AC$ kenarını $E$'de, $AD$ kenarını $K$'de ve $CD$ kenarının uzantısını $B$'de keser. Menelaus Teoremi: $\frac{|AE|}{|EC|} \cdot \frac{|CB|}{|BD|} \cdot \frac{|DK|}{|KA|} = 1$.
- 4. Oranları Yerine Koyma:
- Soruda $|AK| = 3|KD|$ verildiği için, $\frac{|DK|}{|KA|} = \frac{1}{3}$'tür.
- $D$, $BC$'nin orta noktası olduğu için $|BC| = 2|BD|$'dir. Dolayısıyla $\frac{|CB|}{|BD|} = 2$'dir.
- 5. $|AE|$ Uzunluğunu Bulma: Denklemden $\frac{|AE|}{|EC|} = \frac{3}{2}$ bulunur. $|EC| = 12$ birim olduğu için, $\frac{|AE|}{12} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2|AE| = 36 \Rightarrow |AE| = 18$ birimdir.
- 6. $|AC|$ ve $|AB|$ Uzunluklarını Bulma: $|AC| = |AE| + |EC| = 18 + 12 = 30$ birimdir. $ABC$ üçgeni ikizkenar olduğu için $|AB| = |AC| = 30$ birimdir.
- 7. Açı İlişkilerini Belirleme:
- $|AB| = |AC| = 30$ olduğu için $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$ diyelim.
- $|BC| = |BN|$ olduğu için $\triangle BNC$ ikizkenardır. Bu durumda $\angle BNC = \angle BCN$'dir. $E$ noktası $AC$ üzerinde olduğu için $\angle BCN = \angle BCA = \alpha$'dır. Dolayısıyla $\angle BNC = \alpha$'dır.
- $\triangle BNC$ üç