Sorunun Çözümü
- Katlama nedeniyle $\triangle ABD \cong \triangle AKD$ olur. Bu durumda $|BD| = |KD|$ ve $|AB| = |AK|$ eşitlikleri geçerlidir.
- Verilen $m(\angle DAC) = m(\angle KDC)$ ve ortak açı $m(\angle KCD) = m(\angle ACD)$ olduğundan, $\triangle KDC \sim \triangle ADC$ (Açı-Açı benzerliği) olur.
- Benzerlik oranından $\frac{|KC|}{|DC|} = \frac{|DC|}{|AC|}$ yazılır. Verilen değerler yerine konursa $\frac{6}{12} = \frac{12}{|AC|}$ olur. Buradan $|AC| = 24$ br bulunur.
- $|AK| = |AC| - |KC| = 24 - 6 = 18$ br. Katlama özelliğinden $|AB| = |AK| = 18$ br olur.
- Benzerlik oranından $\frac{|KD|}{|AD|} = \frac{|KC|}{|DC|}$ yazılır. $|KD| = x$ dersek $\frac{x}{|AD|} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ olur. Buradan $|AD| = 2x$ br bulunur. Ayrıca katlama özelliğinden $|BD| = |KD| = x$ br'dir.
- $\triangle ABD$ ve $\triangle ADC$ üçgenlerinde kosinüs teoremi uygulanır. $m(\angle ADB) + m(\angle ADC) = 180^\circ$ olduğundan $\cos(m(\angle ADB)) = -\cos(m(\angle ADC))$ eşitliği kullanılır.
- $\triangle ABD$: $|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 - 2|AD||BD|\cos(m(\angle ADB))$ $18^2 = (2x)^2 + x^2 - 2(2x)(x)\cos(m(\angle ADB))$ $324 = 5x^2 - 4x^2 \cos(m(\angle ADB)) \implies \cos(m(\angle ADB)) = \frac{5x^2 - 324}{4x^2}$
- $\triangle ADC$: $|AC|^2 = |AD|^2 + |DC|^2 - 2|AD||DC|\cos(m(\angle ADC))$ $24^2 = (2x)^2 + 12^2 - 2(2x)(12)\cos(m(\angle ADC))$ $576 = 4x^2 + 144 - 48x \cos(m(\angle ADC))$ $432 = 4x^2 - 48x \cos(m(\angle ADC)) \implies \cos(m(\angle ADC)) = \frac{4x^2 - 432}{48x}$
- Kosinüs değerlerini eşitleyerek denklemi çözelim: $\frac{5x^2 - 324}{4x^2} = - \left( \frac{4x^2 - 432}{48x} \right) = \frac{432 - 4x^2}{48x}$ $12(5x^2 - 324) = x(432 - 4x^2)$ (Her iki taraf $4x$ ile çarpılıp $x$ ile sadeleştirildi) $60x^2 - 3888 = 432x - 4x^3$ $4x^3 + 60x^2 - 432x - 3888 = 0$ Denklemi 4 ile sadeleştirirsek: $x^3 + 15x^2 - 108x - 972 = 0$
- Seçeneklerden $x=9$ değerini denklemde yerine koyarsak: $9^3 + 15(9^2) - 108(9) - 972 = 729 + 15(81) - 972 - 972 = 729 + 1215 - 1944 = 1944 - 1944 = 0$. Denklem sağlandığı için $|KD| = 9$ br'dir.
- Doğru Seçenek C'dır.