Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, $AB \perp CB$ olduğundan $\triangle ABC$ bir dik üçgendir ve $m(\angle ABC) = 90^\circ$ dir.
- $m(\angle DBC) = 45^\circ$ ve $m(\angle ABC) = 90^\circ$ olduğundan, $m(\angle ABD) = m(\angle ABC) - m(\angle DBC) = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ dir.
- $m(\angle ABD) = m(\angle DBC) = 45^\circ$ olduğu için, BD doğru parçası $\angle ABC$'nin açıortayıdır.
- $\triangle ABC$'de Açıortay Teoremi'ni uygulayalım: $\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|DC|}$.
- Verilen değerleri yerine koyarsak: $\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Buradan $|BC| = 3|AB|$ elde edilir.
- $\triangle ABC$ bir dik üçgen olduğundan, Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: $|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$.
- $|AC| = |AD| + |DC| = 2 + 6 = 8$ cm'dir.
- Denklemleri birleştirirsek: $|AB|^2 + (3|AB|)^2 = 8^2$.
- Bu denklemi çözelim: $|AB|^2 + 9|AB|^2 = 64 \Rightarrow 10|AB|^2 = 64$.
- $|AB|^2 = \frac{64}{10} \Rightarrow |AB| = \sqrt{\frac{64}{10}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{10}} = \frac{8}{\sqrt{10}}$ cm.
- Doğru Seçenek A'dır.